Понятие о случайном событии. Частота событий и ее свойства. Аксиоматическое определение вероятности. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы, страница 5

Закон больших чисел: при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится к ее МО, т.е. . Эта сходимость выполняется для любой последовательности НСВ с конечной дисперсией. Если случайные величины x₁, x₂, … попарно независимы, одинаково распределены, имеют математическое ожидание  a и ограниченную дисперсию s² < C (C=const), тогда выполнен ЗБЧ в форме Чебышёва . Неравенство даёт оценку того, что среднее арифметическое случайных величин отклонится от математического ожидания по абсолютной величине более чем на e.  Следствие (теорема Бернулли): для оценки вероятности отклонения частоты появления события от его вероятности можно использовать теорему Бернулли .

31. Центральная предельная теорема

Пусть S_n=x₁+…+x_n, где x₁,x₂,…- независимые одинаково распределённые случайные величины со средним значением a и дисперсией s ²<¥. Тогда выполнена центральная предельная теорема (ЦПТ), т.е. для любого вещественного x имеет место сходимость  при n→¥.

32. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых наступает или не наступает событие А. Пусть Р(А) = р, (1 – р) = q. Тогда  – локальная формула Муавра-Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа является следствием из ЦПТ. Если ξ₁,…,ξ_n – последовательность независимых одинаково распределенных СВ к конечной ненулевой дисперсией, то для "x < y и n→¥  имеет место , где S_n= x₁+…+x_n. Эта теорема справедлива только для схемы Бернулли.

33. Случайные функции, их функции распределения, плотность

Случайной функцией (СФ) ξ(t) наз-ся функция ξ(t), которая при любом t является случайной величиной (СВ). Параметр tне является СВ. Далее будем предполагать, что t – время, и будем называть СФ случайным процессом. Пусть при исследовании ξ(t) произведено n испытаний. В каждом опыте получается неизвестная заранее функциональная зависимость, которая называется реализацией СФ. Реализации СФ могут быть непрерывными, дискретными, распределенными процессами. Пусть имеется t₁– произвольный момент времени, тогда ξ(t₁) – СВ, тогда для нее есть функция распределения (ФР). Если  дифференцируема, то она наз-ся одномерной плотностью вероятности СФ.  – вероятность того, что реализация СФ пройдет в момент времени t₁в щель (х₁, х₁ + dx₁). Но эти формулы не учитывают возможные связи между значениями СФ. Для более полного описания СФ можно вводить многомерные функции распределения и плотность. Более полно описывают СФ ф-лы: .

Законы распределения не всегда могут быть известны, или могут иметь очень громоздкий вид. Поэтому исп-ся числовые характеристики:  – МО СФ,  – дисперсия,  – корреляционная функция. МО и дисперсия зависят от одномерной функции плотности, а К зависит от двумерной плотности. МО, дисперсия и К – это не случайные функции. МО характеризует среднее положение СФ. Дисперсия характеризует величину разброса реализаций вокруг МО. Корреляция – степень связи между ординатами СФ для 2-х моментов времени. Чем больше К, тем плавней график реализации.

34. Стационарные случайные функции

СФ наз-ся стационарной, если все ее многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени, но не зависят от самих значений этих величин, т.е. выполняется , где t₀ – произвольное число. Откуда можно показать, что одномерная плотность вероятности для ССФ не зависит от времени, а двумерная зависит только от разности моментов времени. Числовые характеристики: МО , так как t не фигурирует; дисперсия , так как не зависит от t; корреляционная функция , т.е. зависит только от разности → для ССФ МО и дисперсия постоянны, а КФ зависит только от разности моментов времени. Часто вместо КФ используют спектральную плотность .

35. Характеристики СФ

Законы распределения не всегда могут быть известны, или могут иметь очень громоздкий вид. Поэтому исп-ся числовые характеристики:  – МО СФ,  – дисперсия,  – корреляционная функция. МО и дисперсия зависят от одномерной функции плотности, а К зависит от двумерной плотности. МО, дисперсия и К – это не случайные функции. МО характеризует среднее положение СФ. Дисперсия характеризует величину разброса реализаций вокруг МО. Корреляция – степень связи между ординатами СФ для 2-х моментов времени. Чем больше К, тем плавней график реализации.

36. Основные понятия математической статистики