Понятие о случайном событии. Частота событий и ее свойства. Аксиоматическое определение вероятности. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы, страница 3

0,01/0,02=a

15. Схемы испытаний Бернулли. Формулы Бернулли

Последовательно проводится серия из n испытаний, каждое из которых может закончиться лишь одним из 2-х значений: 0 или 1. Таким образом, элементарный исход , т.е. произошло событие или нет. В качестве пространства элементарных исходов возьмем , i = 1…m. Все Θ независимы. Число членов в этом множестве равняется 2ⁿ = |Ω|. Зададим вероятность на этом пространстве Ω, 0 £ р £ 1, Р(Θ_i) = р. Положим . В результате n независимых опытов успех наступит k раз. Найти вероятность этого испытания. Имеем  – вероятность того, что в результате n опытов успех наступит k раз. Предположим, что опыты повторяются до 1-го успеха, тогда  – номер первого успеха (геометрическое распределение с параметром p).

16. Предельная теорема Пуассона

В практике часто приходится вычислять вероятности с большими n. Неудобство вычислений заменяется приближением формул. Предельная теорема Пуассона: при n → ¥, p → 0, таким образом, что np → l, где l > 0, тогда для любого k вероятность  – формула Пуассона. По формуле Пуассона вычисляется вероятность редких событий в массовых испытаниях.

17. Дискретные СВ, примеры законов распределения

СВ – произвольная функция на множестве элементарных исходов, . Множества вида  являются собственными. Пусть Ω – не более, чем счетное, тогда СВ тоже счетная. В этом случае СВ называется дискретной. Распределение дискретной СВ является таблицей. Законы распределения для ДСВ: 1. закон Бернулли – СВ, принимающие только 2 значения; 2. биномиальные распределения (по формуле Бернулли); 3. пуассоновские распределения с параметром l > 0.

18. СВ (общий случай). Законы распределения

Функция ξ: Ω →R называется случайной величиной, если для любого х из R событие ξ = х принадлежит к алгебре А. Функцией распределения СВ ξ наз-ся функция F_ξ(х): R→R и определяемая следующим образом: . Свойства ФР: 1. 0 < ФР < 1; 2. F(–¥) = 0, F(+¥) = 1; 3. ФР является неубывающей функцией. Вероятность того, что СВ попадет в промежуток [a, b) = приращению ФР на этом промежутке. Для ДСВ график ФР – кусочно-постоянный со скачками в точках х₁, х₂, …, х_п.

19. Непрерывные случайные величины

СВ наз-ся непрерывной, если ее ФР – непрерывная функция. Таким образом, вероятность того, что СВ примет в результате испытания какое-либо определенное значение равна 0 → неважно, какие скобки ставить: [ или ). В классе НСВ существуют абсолютно непрерывные СВ – СВ, распределение которых имеет функцию плотности распределения вероятности: . Если этот предел существует, то он наз-ся плотностью распределения вероятности. Причем он равен производной от F(x). Т.к. F(–¥) = 0, то . Уточним определение АНСВ – СВ, для которой существует f(x) и выполняются свойства: 1. f(x) ³ 0; 2. интеграл от – до + бесконечности от f(x) равен 1 – условие нормировки; 3. для любого х из R имеет место равенство . Следствие: .

20. Примеры абсолютно непрерывных распределений

1. Равномерное распределение – СВ имеет равномерное распределение на [a, b], если она имеет следующую плотность: ; 2. Показательное распределение с параметрами m > 0, ξ Î Е_m (условие Пуассона) – ; 3. Гауссово (нормальное) распределение – СВ имеет нормальное распределение с параметрами a и s², где aÎR, в этом случае ξ Î N_a,s2, если СВ имеет следующую плотность распределения  →  для любого х. Нормальное распределение с параметрами а = 0, s = 1 называется стандартным нормальным распределением.

21. Числовые характеристики СВ – математическое ожидание

Не всегда удается получить законы распределения, поэтому приходится ограничиваться некоторыми числовыми характеристиками. Рассмотрим ДСВ. Предположим, что в результате n опытов СВ приняла m₁ раз значение х₁, …, m_n раз значение x_n. Математическим ожиданием СВ называется число , т.е. сумма произведений всех значений СВ на их вероятности. Для НСВ МО вычисляется по формуле . Смысл МО – среднее значение СВ. МО существует только тогда, когда ряд сходится абсолютно. Свойства МО: 1. устойчивость; 2. аддитивность и мультипликативность по отношению к СВ.

22. Общие свойства МО

Смысл МО – среднее значение СВ. МО существует только тогда, когда ряд сходится абсолютно. Свойства МО: 1. линейность → Е(а + bx) = а + b Еx; 2. E(x₁ + x₂) = Ex₁ + Ex₂; 3. xÎ [a,b] → ExÎ [a,b]; 4. Ex £ E|x|; 5. если x£ 0  и  Ex = 0 → СВ x = 0 почти наверное; 6. Р(А) = ЕI_A, где I_A = 1, если wÎA, или 0, если нет; 7. для независимых СВ Exh = Ex + Eh.