Математика \ Теория вероятностей

Понятие о случайном событии. Частота событий и ее свойства. Аксиоматическое определение вероятности. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы, страница 2

События А и В – независимы, если Р(АВ) = Р(А) * Р(В) → Р(А|В) = Р(АВ) / Р(В) = Р(А) – безусловная вероятность события А. Если А и В – независимы, то их вероятности не зависят друг от друга. Группа событий называется статически независимой, если все комбинации внутри этой группы независимы. События группы называются попарно независимыми, если любая произвольная пара событий внутри группы является независимой. Из статической независимости → попарная независимость, но не наоборот.

10. Формула произведения вероятностей

Произведением событий наз-ся событие, состоящее в совместном появлении этих событий. Необходимо ввести несколько понятий. Событие А наз-ся независимым от В, если вероятность А не зависит от того, произошло ли В. Событие А наз-ся зависимым от В, если вероятность А меняется в зависимости от того, произошло ли В. Примеры: независимое – бросание 2-х монет поочередно; зависимое – вытаскивание белых шаров из урны. Вероятность А, вычисленная при условии, что имело место В, наз-ся условной вероятностью события А. Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е. P(AB)=P(A)*P(B|A). Следствия: 1. если А не зависит от В, то В не зависит от А; 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

11. Сложение вероятностей несовместных событий. Вероятность объединения двух событий

Пусть имеется А₁…А_n – совокупность несовместных событий. Р(А₁+…+А_n) = применим n-1 раз аксиому сложения (аддитивности), получим сумму вероятностей: Р(А₁) + … + Р(А_n). Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствия: 1. если события образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1; 2. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Пусть А, В – произвольное событие, то Р(А È В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает одно из 2-х несовместных событий: АВ или. В результате тогда А = АВ +, после этого Р(А) = Р(АВ) + Р(). Отсюда вероятность Р() = Р(А) – Р(АВ). Аналогично В = ВА +, и Р() = Р(В) – Р(АВ).

12. Обобщенная формула объединения вероятностей

Р(А È В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Найдем формулу. Применим формулу 3 раза и найдем формулу для вероятности объединения трех событий. Р(А È В È С) = Р(А) + Р(В È С) – Р(А(В È С)) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(ВС) – Р(АВ È АС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(ВС) – Р(АВ) – Р(АС) + Р(АВС). Т.е. , где i < j. Условие: если события А₁, …, А_n – совместные, но независимые, то тогда Р(А₁ È … È Аn) = 1 –. Заметим, что А₁ È … È Аn и являются противоположными, то их сумма = 1, т.е. Р(А₁ È … È Аn) + Р() = 1.

13. Формула полной вероятности

Пусть А – некоторое событие, которое может наступить при наступлении 1-го из событий Н₁…Н_п, которые образуют полную группу событий. Наступление А равносильно наступлению АН₁…АН_п. По теореме сложения вероятностей можно записать: . Для каждого из слагаемых мы можем использовать формулу сложения вероятностей.

Пример: Вероятность что станок некоторой марки изготовлен в цехе №1= 0.75, для цеха №2=0,25 вероятность того что брак №1=0,01, №2=0,05

Случайным образом выбирается станок. Определить вероятнось что он бракованный.

Решение:

Н₁- изготовлен №1

Н₂- изготовлен №2

Р(Н₁)=0,75

Р(Н₂)=0,25

А={выбранный станок бракованный}

А/Н₁={бракованный станок из цеха №1}

А/Н₂={бракованный станок из цеха №2}

Р(А/Н₁)=0,01

Р(А/Н₂)=0,05

Р(А)=0,75*0,01 + 0,25*0,05 =0,02

14. Формулы Бейеса

Пусть А – некоторое событие, которое может наступить при наступлении 1-го из событий Н₁…Н_п, которые образуют полную группу событий. Н₁…Н_п – гипотезы. По формуле умножения вероятностей можем записать , откуда получим . Домножая доопытную вероятность на α, получаем послеопытную вероятность.

Случайным образом выбирается станок.

Найти вероятность того, что бракованный станок изготовлен цехом №1