Переконденсация пересыщенного пара: аналитические теории и численный эксперимент

Аджемян Лоран Цолакович

д.т. (812) 428-25-72,  м.т.  8-921-778-26-21

Loran.Adzhemyan@pobox.spbu.ru

УДК 536.423.4+531.528

ПЕРЕКОНДЕНСАЦИЯ ПЕРЕСЫЩЕННОГО ПАРА: АНАЛИТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

А.Н.Васильев, А.К.Казанский, Л.Ц.Аджемян

Санкт-Петербургский государственный университет,

физический факультет

198504 Санкт-Петербург, Петродворец, ул. Ульяновская, 1

Поступила в редакцию

Численным интегрированием уравнений движения  изучен процесс конденсации пересыщенного пара с момента окончания образования зародышей и до достижения асимптотического режима переконденсации. Проведена проверка аналитических теорий конденсации. Изучена зависимость финального автомодельного распределения капель по размерам от вида их начальной функции распределения в широком диапазоне изменения параметров.

КОНДЕНСАЦИЯ ПЕРЕСЫЩЕННОГО ПАРА ПО ОКОНЧАНИИ СТАДИИ ОБРАЗОВАНИЯ НОВЫХ ЗАРОДЫШЕЙ

     Процесс конденсации пересыщенного пара по окончании стадии образования новых зародышей (капель) описывается системой уравнений для  радиуса капли , функции распределения капель по размерам , числовой плотности пересыщенного пара  и связанного с ней соотношением  

                                    ,(1)

критического радиуса капель. Здесь – плотность насыщенного пара над плоской границей раздела фаз,  параметр  определен соотношением   , где – коэффициент поверхностного натяжения, – плотность  жидкости. Соответствующая система уравнений имеет вид [1]:

,                             (2)

,     ,               (3)

                                       (4)

Уравнение (2) описывает изменение со временем радиуса капли  в диффузионном режиме поглощения каплей пара, здесь  – коэффициент диффузии. Уравнение (4) представляет собой условие постоянства полного числа молекул в единице объема    (пар + капли). Функция распределения  нормирована так, что интеграл

                                  (5)

дает среднее количество капель в единице объема. Дифференцируя  (5) по времени,  используя уравнение движения (3) и интегрируя по частям, получаем соотношение

                            (6)

определяющее скорость убыли числа капель. Чтобы она была конечна, необходимо, чтобы функция распределения при малых  имела асимптотику

.                             (7)

В начале стадии конденсации пересыщение  заметно превышает единицу и критический радиус в (2) является малой величиной порядка  (например, для воды см.). Мы будем считать, что в начальном распределении  представлены капли существенно большего размера. В этом случае в начальной стадии вторым слагаемым в уравнении (2) можно пренебречь и уравнение (3) для функции распределения имеет явное решение, которое выглядит наиболее просто, если его сформулировать в терминах распределения по квадрату радиуса капли  – это распределение сохраняет свою первоначальную форму , смещаясь по времени в сторону больших размеров капель. Такой процесс мог бы продолжаться до тех пор, пока  не будет исчерпан запас избыточного пара, однако он сопровождается ростом  и при достаточном падении пересыщения критический радиус “догоняет” по величине основную массу капель – начинается процесс переконденсации. Второе слагаемое в (2) становится существенным: капли с размером больше критического продолжают расти, с размером меньше критического  – уменьшаться в размерах.

В основополагающих работах по теории переконденсации [2,3]  было найдено асимптотическое поведение функции распределения на больших временах. Согласно этой теории при достаточно больших временах функция распределения забывает все детали начального распределения, она носит автомодельный характер и единственным параметром, определяющим ее зависимость от времени, является текущий критический радиус :

,      ,                         (8)

где – универсальная функция  безразмерного радиуса :

               (9)

Функция  (8)  с  из (9) является точным решением уравнения (3), если критический радиус степенным образом зависит от времени

,                                          (10)

этому соответствует асимптотическое убывание пересыщения пара по закону

  .                              (11)

Уравнение баланса вещества (4) выполнено приближенно, с учетом того, что подавляющая часть избыточного пара перешла к этому моменту в капли, а интеграл (4) с функцией (8) не зависит от времени, при этом постоянная  в (8) выбирается из условия

                            (12)

откуда, с учетом (9),

                                     (13)

В теории Лифшица-Слезова [2,3] доказана “локальная устойчивость” асимптотического решения (8)–(10), проявляющаяся в том, что если система приблизилась к данному асимптотическому режиму, то поправки к нему будут малы. Это не означает, однако, устойчивости решения по отношению к  вариациям начальных данных.