Функции нескольких переменных: Конспект лекций (Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных на замкнутом ограниченном множестве), страница 4

Рассмотрим уравнение . Очевидно, есть пары значений  и , обращающих его в верное числовое равенство, например:  и т.д. Однако не всякая пара  удовлетворяет этому уравнению. Значит, можно утверждать, что этим уравнением задана некоторая функция   (или ), хотя явно вид этой зависимости в данном случае получить довольно сложно.

Функция, определенная из неразрешенного уравнения, связывающего независимые и зависимую переменные, называется неявной функцией.

В приведенном примере равенство  задает неявную функцию одной переменной. Уравнением   также задается неявная функция, которая легко может быть представлена в явном виде:  или .

Однако не всякое уравнение, не разрешенное относительно одной из переменных, определяет неявную функцию. Например, уравнение  не задает функцию, так как, очевидно, нет ни одной пары действительных чисел, которая ему удовлетворяет.

Кроме неявных функций  одной  переменной,  существуют  неявные функции нескольких переменных. Так, например, тройки чисел   обращают  выражение   в  верное  числовое равенство, поэтому  – функция двух переменных, заданная неявно. Здесь ни одну из трех переменных невозможно явно выразить через две другие.

 – также неявная функция двух переменных, но  – та же функция, заданная явно.

Пусть в общем случае дано уравнение .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если  каждому  значению    из  некоторого  множества    соответствует единственное значение , которое вместе с  удовлетворяет уравнению , то говорят, что это уравнение определяет на множестве  неявную функцию одной переменной .

Таким образом, для неявной функции имеет место тождество .

В некоторых  случаях  каждому    соответствует  несколько  значений  . Тогда равенство  определяет не одну, а несколько неявных функций. Например,  уравнение    задает две неявные функции, которые можно записать в явном виде, разрешив его относительно :   или  .

Ответ на вопрос,  каким  условиям должна удовлетворять функция , чтобы уравнение  определяло  единственную  функцию , дает теорема о существовании неявной функции.

ТЕОРЕМА. Пусть функция  и ее частные производные  непрерывны в некоторой окрестности точки  и при этом  ,  а  . Тогда уравнение    определяет  в  этой окрестности точки     единственную   неявную  функцию, непрерывную и  дифференцируемую  в  некотором интервале, содержащем точку  , причем  .

(Без доказательства).

Рассмотрим функцию , удовлетворяющую всем условиям теоремы о существовании неявной функции. Тогда равенство  определяет неявную функцию , для которой в окрестности точки  имеет место тождество . Так  как  производная функции, тождественно равной нулю, также равна нулю, то полная производная            

– формула для вычисления производной неявной функции одной переменной.

ПРИМЕР. Найти производную неявной функции  .

.

Если считать, что это равенство задает функцию  , то  .

Рассмотрим теперь уравнение  . При  условиях,  аналогичных сформулированным в теореме о существовании неявной функции, это уравнение определяет  как функцию двух переменных . Поэтому   – тождество. Продифференцировав его по  и по , получим: 

  при условии, что .

ПРИМЕР. Найти частные производные  и  неявной функции .

при условии, что .

ПРОИЗВОДНАЯ  ПО ЗАДАННОМУ

НАПРАВЛЕНИЮ.  ГРАДИЕНТ

Как известно, производная функции одной переменной  характеризует скорость ее изменения при изменении . Поэтому, очевидно, частная производная функции  по переменной  характеризует скорость изменения этой функции в результате изменения , или, по-другому, в направлении оси , а частная производная по  – скорость изменения функции в направлении оси . Однако, в каждой точке плоскости, кроме этих двух направлений, существует еще бесконечное множество других, и во многих случаях представляет интерес скорость изменения, или производная функции, по любому заданному направлению.

Рассмотрим функцию . На произвольно направленной оси  в плоскости XOY выберем фиксированную точку  и переменную точку  (рис. 12).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции  в точке  по направлению   называется  .