ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим и
рассмотрим полное приращение функции:
Так как по условию обе
частные производные первого порядка существуют, применим к каждому слагаемому теорему
Лагранжа: (см. гл. 5). При
получим
, где
– между
и
;
Аналогично, при :
, где
– между
и
.
Тогда
(6.1)
Кроме того, частные
производные по условию непрерывны в окрестности точки
, поэтому
, (6.2)
где ;
, (6.3)
где .
Подставим (6.2), (6.3) в (6.1):
.
Обозначив , получим требуемое.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная линейная часть полного
приращения функции в точке
называется
ее полным дифференциалом в этой точке:
.
Так как и
– независимые переменные, то
и
.
ПРИМЕР. Найти полный дифференциал функции
а) в точке , б)
в точке
.
.
а) , б)
.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.
ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
ПРИМЕР. Вычислить частные производные первого порядка функции .
Решение этой задачи в том виде, как она
сформулирована, приведет, очевидно, к громоздким вычислениям: в каждом
слагаемом придется находить производную произведения. Однако можно, заметив
определенную симметрию в заданном выражении и обозначив ,
значительно упростить вид функции
. Вычислить частные
производные функции
значительно проще, чем функции
. Но для этого необходимо выяснить, как
связаны между собой производные функций
и
.
Функция где
называется сложной функцией двух
переменных: она формально зависит от переменных
и
, а фактически – от
и
.
Будем считать, что функции дифференцируемы в точке
, а функция
– в
соответствующей точке
. Вычислим производную
.
Зададим приращение ,
тогда функции
получат частные приращения
и
. Так
как
дифференцируема в точке
, то по определению ее полное приращение
имеет вид:
, причем
.
(6.4)
Тогда
Функции дифференцируемы
в точке
, поэтому непрерывны. Значит,
.
Кроме того, .
Отсюда с учетом (6.4) имеем
Таким образом,
.
Аналогично, задавая , получим:
.
Способ написания этих формул станет наглядным, если составить схему зависимости сложной функции от ее формальных (промежуточных) и фактических переменных (рис. 8):
|
Вернемся к примеру в начале этого параграфа.
ПРИМЕР. Найти частные производные первого порядка сложной
функции ,
.
Отсюда
где .
Эта идея применима для составления формул вычисления производных сложных функций, зависящих от любого числа как фактических, так формальных переменных.
ПРИМЕР. Составить формулы вычисления производных
первого порядка функции
|
Согласно схеме зависимости (рис. 9) эта
функция зависит фактически от трех переменных , и
формулы вычисления производных имеют вид:
Рассмотрим сложную функцию .
|
Формально эта функция зависит от трех
переменных, а фактически – функция только одной
переменной
. Поэтому производная от нее по
– не частная, а обыкновенная производная,
которая в таком случае называется полной производной данной сложной
функции. Вычисляется она по формуле
(рис.
10). В этой формуле
– частная производная
функции, зависящей от трех переменных
, а
– полная производная.
Используя формулу вычисления полной производной, можно дифференцировать показательно-степенные функции.
ПРИМЕР.
Найти первую производную функции .
Обозначим , тогда получим
– сложная функция двух переменных и
(рис. 11).
|
Поэтому , где
.
Заметим, что найти производную показательно-степенной функции можно и по-другому – с помощью процедуры логарифмического дифференцирования.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.