Функции нескольких переменных: Конспект лекций (Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных на замкнутом ограниченном множестве), страница 3

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим и рассмотрим полное приращение функции:

Так как по условию обе частные производные первого порядка существуют, применим к каждому слагаемому теорему Лагранжа: (см. гл. 5). При получим

, где – между и ;

Аналогично, при : , где – между и .

Тогда

(6.1)

Кроме того, частные производные по условию непрерывны в окрестности точки , поэтому

, (6.2)

где ;

, (6.3)

где .

Подставим (6.2), (6.3) в (6.1):

Обозначив , получим требуемое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная линейная часть полного приращения функции в точке называется ее полным дифференциалом в этой точке: .

Так как и – независимые переменные, то и

ПРИМЕР. Найти полный дифференциал функции

а) в точке , б) в точке .

а) , б) .

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

ПРИМЕР. Вычислить частные производные первого порядка функции .

Решение этой задачи в том виде, как она сформулирована, приведет, очевидно, к громоздким вычислениям: в каждом слагаемом придется находить производную произведения. Однако можно, заметив определенную симметрию в заданном выражении и обозначив , значительно упростить вид функции . Вычислить частные производные функции значительно проще, чем функции . Но для этого необходимо выяснить, как связаны между собой производные функций и .

Функция где называется сложной функцией двух переменных: она формально зависит от переменных и , а фактически – от и .

Будем считать, что функции дифференцируемы в точке , а функция – в соответствующей точке . Вычислим производную .

Зададим приращение , тогда функции получат частные приращения и . Так как дифференцируема в точке , то по определению ее полное приращение имеет вид:

, причем . (6.4)

Тогда

Функции дифференцируемы в точке , поэтому непрерывны. Значит, .

Кроме того, .

Отсюда с учетом (6.4) имеем

Таким образом,

Аналогично, задавая , получим:

Способ написания этих формул станет наглядным, если составить схему зависимости сложной функции от ее формальных (промежуточных) и фактических переменных (рис. 8):

Вернемся к примеру в начале этого параграфа.

ПРИМЕР. Найти частные производные первого порядка сложной функции , .

Отсюда

где .

Эта идея применима для составления формул вычисления производных сложных функций, зависящих от любого числа как фактических, так формальных переменных.

ПРИМЕР. Составить формулы вычисления производных первого порядка функции

Согласно схеме зависимости (рис. 9) эта функция зависит фактически от трех переменных , и формулы вычисления производных имеют вид:

Рассмотрим сложную функцию .

Формально эта функция зависит от трех переменных, а фактически – функция только одной переменной . Поэтому производная от нее по – не частная, а обыкновенная производная, которая в таком случае называется полной производной данной сложной функции. Вычисляется она по формуле (рис. 10). В этой формуле – частная производная функции, зависящей от трех переменных , а – полная производная.