Расчет одноканальной адаптивной системы. Модификации математической модели объекта управления. Синтез адаптивной системы полного порядка

4.2 Расчет одноканальной адаптивной системы

Рассмотрим  расчет адаптивного регулятора полного порядка с вектором скорости в алгоритме настройки коэффициентов, а также обсудим  понижение порядка адаптивного регулятора за счет уменьшения количества контуров адаптации.

Модель линейного одноканального нестационарного объекта управления n-го порядка описывается уравнениями вида:

                                                  (4.9)                                       

где y, u – выходная переменная ивходная управляющая переменная соответственно, b(t)≠0 для  начальный и конечный моменты времени. Неизвестные параметры   и аддитивное возмущение  являются гладкими функциями и имеют ограниченные амплитуду и темп  изменения. Если ввести вектор возмущений ,  то

 ,               (4.10)

Данным условиям удовлетворяет большой класс объектов, например, динамические системы с периодическими коэффициентами, к которым относятся электрические контуры с переменными значениями сопротивлений. Периодическими аддитивными возмущениями могут быть моменты сопротивлений в механической системе с упругими колебаниями или в трехфазном асинхронном двигателе при переменной нагрузке, которая встречается, например, в ленточном конвейере.

Цель функционирования системы состоит в стабилизации выходной переменной системы:   , где - допустимая статическая ошибка, независимо от возмущений.

4.2.1 Модификации математической модели объекта управления

Прежде, чем будет изложен синтез системы полного порядка, обсудим возможность преобразования модели объекта управления (4.9). Это связано с тем, что в адаптивных системах изменение параметров регулятора направлено на подавление возмущений, действующих на объект управления. Поэтому, как правило, число настраиваемых параметров определяется действующими возмущениями. Уменьшение количества контуров адаптации может являться следствием уменьшения параметрических возмущений, которые учитываются в модели объекта при неизменных условиях его функционирования. Один из способов изменения модели объекта основан на применении ряда Тейлора (см. Приложение 2).

Допустим, что непрерывные функции  имеют производные любого порядка в окрестности рабочей точки и остаточные члены ряда Тейлора стремятся к нулю   , ,  .                          

Разложим параметрические  возмущения  в ряд Тейлора с целью выделения постоянной и переменной составляющих по формуле:

                   (4.11)  

где   Выделим в (4.11) первые члены разложения:

                   (4.12)

причем   ,

Подставим (4.12) в уравнение (4.9) и приведем исходную модель объекта к виду, в котором явно присутствуют стационарная  и нестационарная части,

   (4.13)

где                                   

Функция  описывает возмущение, которое по своей природе является структурно-параметрическим, поэтому даже при квазистационарном объекте управления темп возмущения соизмерим с темпом процессов в системе. Следует отметить, что при ограниченных значениях управляющих воздействий, выходных переменных и их производных до (n-1) – порядка можно говорить об ограниченности амплитуды и темпа изменения нового возмущения .  Модель объекта (4.13) будем называть модифицированной 1-го вида.

Используя тот же подход, получим второй вид модели объекта. В данном случае учтем первые два члена ряда   и первые члены разложения , . Согласно (4.11) для  справедливо следующее выражение:

                             (4.14)

где 

Введем обозначение

,                                           (4.15)

тогда с учетом  (4.12), (4.14) и (4.15) уравнение объекта (4.9) примет вид:

       (4.16)    где – неизвестные значения, представляющие собой либо расчетные номинальные значения, либо априори известные верхние оценки коэффициентов и их производных. Функция

, описывает возмущение, которое, как и в первом случае, является структурно-параметрическим.

В модели объекта (4.16) можно выделить параметрическое  и аддитивное  возмущения. Модель объекта (4.16) будем называть модифицированной 2-го вида.

4.2.2. Синтез адаптивной системы полного порядка

Уравнение основного контура можно получить методом эталонного уравнения. Полагаем, что желаемая динамика системы описывается  дифференциальным уравнением вида:

  (4.17)

где – эталонное входное воздействие. Уравнение (4.17) получено согласно заданным показателям качества переходных процессов и описывает эталонную модель. В процессе синтеза адаптивного регулятора полного порядка используем уравнение объекта (4.9), разрешенное относительно старшей производной

.                         (4.18)

Согласно выбранному методу приравниваются правые части (4.17), (4.18), полученное уравнение разрешается относительно управляющей переменной, после чего выполняется замена неизвестных коэффициентов и  функции  соответствующими коэффициентами регулятора: