Полиномиальные матрицы. Унимодальность, левые/правые делители, элементарные операции, эквивалентность, Эрмитова форма, матричное полиномиальное разложение, тождество Безу, правильность, строчная/столбцовая степень

2.  ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Унимодальность, левые/правые делители, элементарные операции, эквивалентность, Эрмитова форма, матричное полиномиальное разложение, тождество Безу, правильность, строчная/столбцовая степень.

Такое простое понятие, как отсутствие одинаковых корней у числителя и знаменателя обычной передаточной функции, и то, что, как правило, степень числителя не больше степени знаменателя, переносится на матричные передаточные функции. Роль числителя и знаменателя играют две полиномиальные матрицы, причем одна из них в минус первой степени. Матрицы, не имеющие “общих” корней (взаимно простые), вычисляют, используя тождество Безу и элементарные операции. Этим операциям соответствуют унимодальные матрицы. Полезны две канонические (стандартные) формы: форма Смита для полиномиальных матриц и форма Смита-Макмиллана для матричных передаточных функций. Следует обратить особое внимание на пункты S12, S17, S18, S23. При первом чтении можно опустить доказательства S29, S30, S31.

Используем обозначения:  - вещественные числа;  - множество полиномов;  - множество полиномиальных матриц размером . Введём ряд понятий. Ввиду большого количества различных понятий, утверждений и свойств ниже даётся сквозная нумерация Si, что должно облегчить поиск при ссылках.

S1.  Пусть . Матрицу назовём несингулярной (nonsingular), если  (столбцы линенйно независимы в ).

S2.  Пусть . Матрицу назовём унимодальной (unimodular) или инвертируемой (invertible), если .

$1.  Показать, что инвертируемость равносильна .

S3.  Пусть даны три матрицы  с элементами из  соответствующих размерностей (кратко записывают так: ). Пусть , тогда С называют правым делителем (right divisor) А и В - левым делителем (left divisor) A.

S4.  Пусть . Пусть , . Тогда R называют общим правым делителем (common right divisor) матриц . Аналогично, пусть , , тогда матрицу L называют общим левым делителем (common left divisor) матриц . Кроме того, используют понятие наибольшего общего правого (левого) делителя (greatest common right (left) divisor). (Он не единственный! Почему?)

S5.  Полиномиальные матрицы  называются взаимно простыми справа (right-coprime), если наибольший общий правый делитель есть унимодальная матрица. Аналогично вводится понятие взаимно простых слева матриц (left-coprime).

S6.  Пусть  и r - целое (). Говорят, что матрица М имеет нормальный ранг (normal rank) r над  и записывается , если существует минор  такой, что это не нулевой полином и для всякого  все миноры есть нулевые полиномы.

S7.  Элементарной строчной операцией (elementary row operations) над  называются операции: 1) перестановка строк; 2) умножение строки на число; 3) добавление к строке другой строки, умноженной на любой полином. Этим операциям соответствуют левые элементарные матрицы (left elementary matrices), при умножении на которые матрицы А слева эти операции выполняются.

Аналогично вводятся элементарные столбцовые операции (elementary column operations). Им соответствуют правые элементарные матрицы (right elementary matrices).

S8.  Нормальный ранг матрицы не меняется от умножения на элементарные матрицы.

S9.  Матрица М унимодальная тогда и только тогда, когда она представляет собой произведение элементарных матриц.

S10.  Матрицы  эквивалентны (equivalent), если существуют унимодальные матрицы  такие, что . Матрицы  называются левоэквивалентными (left equivalent), если существует унимодальная матрица L такая, что . Матрицы  называются правоэквивалентными (right equivalent), если существует унимодальная матрица R такая, что .

S11.  Рассмотрим дифференциальное уравнение , где , ; здесь р - оператор дифференцирования. Решение (solution) этого уравнения  со значениями в  есть сумма экспонент:

Все ее производные непрерывны в точке . Для любого решения , рассматриваемого для t от 0_- до ¥: , имеет место тождество:

.

Например, , где  - числа. Множество решений дифференциального уравнения представляет собой пространство. (Если  - решения,  то и ax₁(t) + bx₂(t) также решения. Здесь ).

S12.  При  не сингулярной,  не сингулярной и унимодальной, при  имеет место: , где Х - множество решений , и  - множество решений уравнения , для       t ³ 0. На это свойство следует обратить внимание! Можно установить взаимно однозначное соответствие между решениями  и .

Смысл этого утверждения состоит в том, что над системой полиномиальных уравнений можно осуществлять унимодальные преобразования, не изменяя множество допустимых решений. Например, множество устойчивых решений переходит во множество устойчивых решений. При этом существует взаимно однозначное соответствие между решениями.

S13.  Элементарными строчными операциями матрицу можно привести к верхнетреугольному виду ( - произвольные числа: ):