Информатика и выч. техника \ Проектирование систем управления

столбцовая степень, страница 3

Часто используется матрица . Она также имеет блочный вид:

Размеры блоков указаны. Так как , имеем

, откуда , . Процедура поиска правого взаимно простого разложения состоит в поиске матрицы W, соответствующей приведению матрицы М к верхнетреугольному виду, а затем вычислению матрицы , левые блоки которой соответствуют левому взаимно простому разложению.

$4. Укажите размеры матриц, составляющих матрицу W.

$5. Покажите, что:

1) ;

2) наибольший общий правый делитель пары матриц есть R.

$6. Наити наибольший общий правый делитель матриц:

Возможное решение:

S22. Пусть , - наибольшие общие делители матриц , тогда матрицы , R₂ унимодальны, что записывается так: ~ R₂.

S23. Тождество Безу (Bezout identity). Пусть и . Тогда - взаимно простые, если и только если существуют такие унимодальные матрицы (символом “E”обозначают то, что матрицы берутся соответствующих размеров), что имеет место равенство .

S24. - взаимно простые, если и только если

S25. Пару матриц элементарными операциями над строками, что соответствует умножению слева на унимодальную матрицу W, можем привести к нижнетреугольному виду

Здесь матрица W разбита на блоки (аналогично S21).

S26. Для матричной передаточной функции (transfer function matrix) возьмем пару матриц

(а)

такую, что матрицы - взаимно простые справа и , . Запись вида (а) равносильна записи: , . Такая пара матриц () называется правым взаимно простым разложением матрицы Н (right coprime fraction).

Аналогично введем пару матриц

такую, что матрицы - взаимно простые слева и , . Такая пара матриц () называется левым взаимно простым разложением матрицы Н (left coprime fraction).

S27. существует правое взаимно простое разложение (). Запись “” читается так: “для любой матричной передаточной функции”.

S28. () - правое взаимно простое разложение тогда и только тогда, когда существуют унимодальные матрицы такие, что

() - левое взаимно простое разложение тогда и только тогда, когда существуют унимодальные матрицы такие, что

$7. Показать, что - это правое взаимно простое разложение некоторой матричной передаточной функции.

S29. Пусть для даны два взаимно простых правых разложения (), (). Тогда существует унимодальная матрица R такая, что , .

Доказательство. Воспользуемся (S28): существуют такие матрицы , , , , что

, (а)

. (б)

Но , откуда , где . Точно так же можно показать, что . Осталось показать, что R унимодальная матрица. Умножим (а) справа на :

Но , , поэтому предыдущее уравнение эквивалентно . Следовательно, матрица R полиномиальная. Ранее было показано, что , , откуда , . Умножим (б) справа на и воспользуемся полученными выражениями для и :