Информатика и выч. техника \ Проектирование систем управления

столбцовая степень, страница 5

При матрицу называют строго правильной (strictly proper) и обозначают .

S35. Возьмем полиномиальный вектор размерности n. Степенью вектора m (degree of m) называется наивысшая степень из всех элементов вектора m и обозначается так: .

Используется понятие степени строки (row-degree) матрицы . Степень i - й строки матрицы М обозначается: . Аналогично вводится степень столбца (column-degree) - .

$9. Для нулевого вектора принято считать, что . Попробуйте объяснить, почему именно так выбрали.

S36. Для правильной матрицы при взаимно простом правом полиномиальном разложении имеет место

, (а)

а для строго правильной

. (б)

$10. Обратное утверждение не имеет места, т. е. из (а) пункта S36 не следует правильность матрицы. Для передаточной функции

дано разложение

Проверить (а), (б) из S36. Является ли это разложение взаимно простым?

S37. Полиномиальная матрица называется столбцово приведенной (column-reduced), если

, и строчно приведенной (row-reduced), если

$11. Показать, что

. (а)

У к а з а н и е. Обозначим - это наивысшая степень элемента j-того столбца матрицы D. Если окажется, что хотя бы в двух столбцах матрицы D, например, в i-м и j-м, наивысшие степени и попадут с одну строку, то в правой части (а) сумма будет больше порядка детерминанта. Детерминант – это сумма произведений элементов из разных столбцов и строк!

$12. Подсчитать и для

У к а з а н и е. Первый столбец умножить на sи вычесть из второго столбца. Будет ли матрица столбцово приведенной? Записать матрицу, соответствующую этой операции. (Элементарными операциями любую матрицу можно привести к приведенному виду!)

S38. Для несингулярной матрицы обозначим . Пусть матрица D такая, что

, т.е. элементы матрицы - конечные числа. Эта матрица называется матрицей коэффициентов при высших столбцовых степенях (highest column-degree coefficient matrix). Это коэффициенты при элементов матрицы D .

S39. Для столбцово приведенной матрицы D(s) (в основном мы пишем D вместо D(s)) имеет место равенство

S40. Для несингулярной матрицы вычислим и . Следующие утверждения эквивалентны:

1) D – столбцово приведенная;

2) - невырожденная;

3) предел равен невырожденной матрице .

S41. Дано правое разложение матрицы , где - столбцово приведенная. Тогда правильная тогда и только тогда, когда имеет место

S42. Если столбцово приведенные несингулярные полиномиальные матрицы эквивалентны справа, тогда их столбцовые степени совпадают. Предполагается, что мы их упорядочили, например, по возрастанию.