В общем случае, независимо от того, разрешается ли (2)аналитически относительно x', попробуем осмыслить задачу геометрически. Уравнение (2) выражает некоторую поверхность S в пространстве переменных t,x,x'. Ее проекция на плоскость - это множество точек (t,x), в которых определенно хотя бы одно направление x'=V(t,x). В области abfe определено непрерывное поле скорости, заданное нижней частью S. В пересечении abge этих областей имеются, таким образом, два непрерывных поля V(t,x). Каждое из указанных полей находится из соотношения (2) при условии ¶F(t,x,x')/¶x'¹0. Нарушение этого условия на поверхности S приводит к системе равенств F(t,x,x')=0, ¶F(t,x,x')/¶x'=0. Эта система, если исключить из нее x', выражает линию на плоскости t,x (линия ab на рисунке). Ее называют сепатрисой, так как она обычно отделяет области определения полей V(t,x) друг от друга или от точек плоскости, где поля не определены вовсе. Сепатрису часто удается записать параметрически взяв в качестве параметра p число x'.
Иногда сепатриса или ее часть представляет собой интегральную кривую уравнения (2), это всегда следует проверять подстановкой ее в уравнение (2). Соответствующее решение уравнения (2) называется особым, так как оно не является решением какого либо уравнения вида (1), удовлетворяющего условиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши.
Для нахождения "неособых" решений уравнения (2), то есть решений каждого из уравнений (1), заданных равенством (2) и удовлетворяющих теореме существования и единственности решения задачи Коши, чаще всего применяют метод параметризации. Для изложения его, обозначим x'=p. Тогда вместо (2) можно написать систему F(t,x,p)=0 (3), dx/dt=p (4). Если нам удалось представить уравнение поверхности (3) в параметрическом виде, с параметрами U,V. Тогда вместо (3), (4) мы имеем систему неравенств t=j(u,v), x'=y(u,x), p=c(u,v), dx=pdt (5). Подставив в последнее из них выражение для p,dx,dt, полученное из первых трех, найдем (¶y/¶u)·dV+(¶y/¶v)dV=c(U,V)((¶j/¶u)dU+(¶j/¶v)dV). Это дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее U и V. Взяв U за независимое, а V за зависимое переменные, перепишем уравнение в виде dV/dU=(c(¶j/¶U)-¶y/¶U)/(¶y/¶V-c(¶j/¶V)). Мы пришли к уравнению первого порядка, но уже разрешенному относительно производной. Пустьнам удалось найти его решения в виде V=w(U,C).
Тогда из двух первых уравнений (5) мы получаем все решения уравнения F(t,x,p)=0, в параметрическом виде: t=j(U,w(U,C)), x=y(U,w(U,C)).
Описанный метод удобно применять, когда уравнение (2) легко разрешается относительно t или x. Тогда за параметры естественно взять x иp или t и p соответственно.
В качестве примера приведем уравнение Клеро. Так называется уравнение x=x't+f(x') (6), где f(x') - заданная на некотором интервале I функция, имеющая достаточное количество производных. Обозначим p=x'. Тогда дискриминантная кривая находится из уравнений: x=pt+f(p), t+f(p')=0. То есть имеет параметрическое представление t=-f'(p), x=-pf'(p)+f(p). Легко подсчитать, что она представляет собой интегральную кривую, график особого решения (или нескольких особых решений).
Поскольку уравнение (6) разрешено относительно x, применим к нему метод параметризации, взяв за параметры t. Равенства (5) примут вид x=pt+f(p), dx=pdt. Дифференцируя первое из них и подставляя dx во второе, находим соотношение [t+f'(p)]dp=0. Приравнивая к нулю квадратную скобки, мы возвратимся к особому решению. Равенство нулю второго множителя dp дает p=c=const. Значит, все неособые решения уравнения Клеро имеют вид x=ct+f(c), а соответствующие интегральные линии - прямые.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.