Дифференциальное уравнение 1-го порядка как модель детерминированного и дифференцируемого процесса эволюции конечномерной системы. Уравнения, не разрешенные относительно производной, страница 4

Пример (свободная частица на прямой). Пусть материальная точка движется по прямой R c координатой x1 без воздействия внешних сил. Скорость движения обозначим x2, тогда ускорение есть x2΄. Получаем систему равенств x1΄=x2; x2΄=0  (5) которая представляет собой двумерное автономное уравнение. Его фазовое пространство – это X=R2, поле фазовой скорости имеет вид V(x)=(x2,0). Очевидно фазовые траектории лежат на прямых, параллельных оси x1. Решим систему аналитически. Из второго уравнения системы видим, что для любого решения x2=c2=const, после чего из первого уравнения находим x1=c2t+c1. Итак каждое решение с c2¹0 есть движение вдоль прямой x2=c2, при котором фазовая точка проходит всю прямую с постоянной скоростью c2. Если же c2 равно 0, то решение имеет вид x1=c1, x2=0, то есть является стационарным. Соответствующая фазовая кривая есть точка (c1,0) плоскости – положение равновесия. Все фазовые кривые системы на картинке.

Рассмотрим систему двух одномерных уравнений x΄=f(x); y΄=g(y)  (7), где f(x): (IÌR)®R, g(y): (JÌR)®R. Таким образом, фазовое пространство системы (7) есть прямое произведение двух интервалов X=IxJ, из-за чего и сама система (7) называется произведением двух уравнений. Каждое уравнение системы решается независимо от другого, т.е. содержит только одну неизвестную числовую функцию. Формулы òx0x dx/f(x)=t–t0=òy0y dh/g(h) (8) дают в неявной форме все решения системы (7), для которых f(x)¹0, g(y)¹0. Кроме того, при f(x0)=0, g(y)¹0 имеются решения x=x0, t–t0=òy0y dh/g(h)  (9), а при f(x)¹0, g(y0)=0 – решения t–t0=òx0xdx/f(x)  (10), при f(x0)=g(y0)=0 есть стационарное решение x=x0, y=y0. Если переписать систему (7) в виде dx/f(x)=dt, dy/g(y)=dt, а затем исключить dt , то получим уравнение с разделяющимися переменными  dx/f(x)=dy/g(y) (11). Найдя все решения y=y(x) или x=x(y) этого неавтономного уравнения, мы получим тем самым все фазовые кривые системы (7), отличные от положения равновесия.

Аналогично рассматривается вопрос о фазовых линиях системы двух одномерных уравнений x΄=f(y); y΄=g(x) (12). Все его фазовые линии – это интегральные кривые уравнения с разделяющимися переменными g(x)dx =f(y)dy (13).

24. Одномерное линейное уравнение. Метод вариации постоянной.

Мы уже отмечали, что случаи разрешения дифференциального уравнения, хотя бы в квадратурах, довольно редки. Во всех примерах предыдущих разделов дело сводилось фактически к одному типу уравнений: одномерному уравнению с разделяющимися переменными.

Другим типом уравнений, разрешаемых в квадратурах, является одномерное линейное уравнение x΄=a(t)*x+b(t) (1) где a(t), b(t) – непрерывные на некотором интервале IÌR заданные функции.

Расширенным фазовым пространством этого уравнения является множество U=I´/R.

Рассмотрим сначала частный случай, в котором b(t)=0 на I: x΄=a(t)*x (2). Это обобщение знакомого нам уравнения x΄=a*x с постоянным а. Уравнение (2) называют линейным уравнением без правой части или линейным однородным уравнением. С ним у нас никаких принципиально новых проблем не возникает, так как это уравнение с разделяющимися переменными. При наличии начальных данных (t0,0) оно имеет стационарное решение xº0 на I. Для начальных же данных (t0,x0) с x0¹0 получаем, пока x¹0:  òx0x dx/x=òt0t a(t)dt, ln(x/x0)=òt0t a(t)dt или окончательно  x=x0*expòt0t a(t)dt. (3)  Выясняется, что такое решение должно быть определено при всех tÎI и не может обращаться в ноль нигде на интервале I. Подстановка (3) в (2) показывает, что формула (3) действительно дает все непродолжаемые решения уравнения (2), включая и xº0. Каждое из них определено на всем интервале I. Решение задачи Коши для любых начальных данных (t0,x0) определено этой формулой единственным образом. Если зафиксировать t0ÎI, то можно переписать совокупность решений (3) в виде: x=C*expòt0t a(t)dt  (4), где С произвольная постоянная.