Дифференциальное уравнение 1-го порядка как модель детерминированного и дифференцируемого процесса эволюции конечномерной системы. Уравнения, не разрешенные относительно производной, страница 3

Пусть материальная точка M массы m (рис 1) подвешена на жестком невесомом стержне длины l, шарнирно закрепленном в точке О. Этот маятник может двигаться в вертикальной плоскости, проходящей через точку О, под действием сил тяжести, инерции и трения в шарнире. Пусть x1 – угол отклонения точки M от крайнего нижнего положения, x2=x΄1 – угловая скорость маятника. Составляя баланс сил действующих на М в направлении, ортогональном ОМ, находим mlx΄2=-mgsinx1-glx2, где g – ускорение силы тяжести, g - коэффициент трения. Таким образом получаем автономную систему двух одномерных уравнений. x΄1=x2; x΄2=-w²sinx1–2kx2, X=R² (14) где w²=g/l>0, 2k=g/m³0. Эта система имеет положения равновесия, определяемые условиями x2=0, w²sinx1+2kx2=0, т.е. x1=np, x2=0 (n – целое). При n четном – это крайнее нижнее положение маятника, при n нечетном – крайнее верхнее.

Рассмотрим частную ситуацию – маятник без трения, т.е. система x΄1=x2; x΄2=-w²sinx1 (15), получающуюся из (14) при k=0. Эти уравнения имеют вид (12) (x΄=f(y); y΄=g(x)), поэтому отыскание фазовых кривых сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными вида (13) (g(x)dx=f(y)dy): x2dx2=-w²sinx1dx1 (16), из (16) находим x²2/2=w²(cosx1–c) (17). Фазовый портрет системы (15), основанный на анализе этого уравнения на рис.  

21. Автономное уравнение 1-го порядка: определение, фазовое пространство, фазовые скорости, фазовые кривые, положение равновесия, простейшие примеры.

Рассмотрим уравнение x΄=V(x) (1) с полем V, заданным на некоторой области XÌRn (n=1,2,3,…). В координатной форме уравнение (1) имеет вид: x΄1=V1(x1,x2,…,xn) и т.д. (2). Это уравнение описывает эволюционный процесс, в котором все будущее и прошлое системы определяются только ее состоянием в данный момент и не зависят от того, в какой именно момент это состояние достигнуто. (1) называется автономным. Область определения уравнения (1) имеет специфический вид: это прямое произведение множества XÎRn, называемого фазовым пространством системы, на ось t . фазовое пространство X есть совокупность всех возможных состояний x  автономной системы, называемых фазовыми точками.

Поле направлений системы (1) инвариантно относительно сдвига вдоль оси t . ТеоремаЕсли x=j(t): I®Rn – решение уравнения (1), то функция x=j(t+c) есть решение уравнения (1) при любой константе cÎR.

С понятием фазового пространства автономного уравнения связана удобная геометрическая интерпретация эволюционного процесса, которая отсутствует в общем случае неавтономного уравнения. Поле скоростей V(x) можно рассматривать как функцию, определенную на фазовом пространстве X , а не на расширенном фазовом пространстве U: V(x): X®Rn (3) В этом случае оно называется поем фазовых скоростей. Его можно представить себе в виде векторов V(x) из Rn, отложенных от соответствующих точек xÎX. В общей неавтономной ситуации это, по меньшей мере неудобно: во-первых, множество возможных состояний системы зависит от t; во-вторых, даже если оно стационарно, то поле V зависит от времени. Если поле направлений указывает направления возможных движений системы в фиктивном с физической точки зрения пространстве U, то поле фазовых скоростей дает направления движений фазовой точки именно в пространстве состояний изучаемого объекта.

Пусть x=j(t): I®X (4) некоторое не продолжаемое решение уравнения (1). Множество значений функции (4), лежащее в X , называется фазовой траекторией или фазовой кривой уравнения (1). Другими словами, фазовая траектория есть проекция графика не продолжаемого решения, т.е. интегральной кривой U на фазовое пространство X (рис 1). Из теоремы следует, что не продолжаемые решения, которым соответствует одна и та же фазовая кривая, и можно трактовать кинематически как движение фазовой точки по этой кривой, происходящие друг за другом по одному и тому же закону, но со сдвигом во времени. Зная одну лишь фазовую кривую, нельзя восстановить ни закон движения по ней, ни даже направление этого движения. Если направление известно, его обычно указывают стрелкой на фазовой кривой.