Вернемся к уравнению (1). Для его решения применим метод вариации произвольной постоянной. Это значит, что мы будем искать решение уравнения (1) “ почти ” в таком же виде, какой имеет любое решение уравнения (2), т.е. в виде (4), но с одним отличием: С теперь будет не константа, а функция переменной tÎI . подставляя в этом предположении (4) в (1), после приведения подобных членов и деления на expòt0t a(t)dt найдем C΄(t)=b(t)exp[-òt0t a(t)dt], (5) откуда C(t)=òt0t b(t)*exp[-òt0t a(t)]dt+c1, (6) где c1 – произвольная постоянная. Таким образом, получается следующее решение уравнения (1): x=òt0t b(t)exp(òtt a(z)dz)dt+ +c1*expòt0t a(t)dt (7).
Легко убедиться, что формула (7)дает все решения уравнения (1), получающиеся при различных значениях константы c1. В самом деле, заметим, что разность двух решений x(t) и x(с волной)(t) уравнения (1) есть решение уравнения (2). Поэтому все решения уравнения (1) получаются, если добавлять к некоторому его фиксированному решению всевозможные решения уравнения (2). Но формула (7) имеет именно такую структуру. Коротко полученный результат формулируют так: общее решение неоднородного линейного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Чтобы получить решение задачи Коши с начальными данными (t0,x0), t0ÎI для уравнения (1), следует, очевидно, положить c1=x0 в (7). Заметим, наконец, что каждое решение (7) уравнения (1) определено на всем интервале I, и что непродолжаемое решение любой задачи Коши единственно.
36. Первые интегралы.
Будем изучать n-мерное уравнение первого порядка x'=V(t,x) (1), для которого функции V(t,x), ¶V/¶x(t,x) непрерывны в области UÌRn+1 .
Определение: Числовая функция f(t,x), определенная и непрерывно дифференцируемая в области WÌU, называется первым интегралом уравнения (1), если она постоянна на любой интегральной кривой этого уравнения, лежащей в W другими словами, если каждая такая интегральная кривая расположена на поверхности уровня функции f(t,x).
Аналитически, это определение означает, что df(t,j(t))/dtº0 для любого решения x=j(t) уравнения (1) с графиком в W.
Левая часть последнего равенства выражает скорость изменения функции f(t,x) при движении x=j(t,x) по закону, предписываемому полем скоростей V(t,x). Эту скорость называют производной вдоль решения системы (1).
Вычислим эту производную по правилу дифференцирования сложной функции: df(t,j(t))/dt=¶f(t,j(t))/¶t+j'(t)·(¶f(t,j(t))/¶x)=¶f(t,x)/¶t+V(t,x)·(¶f(t,x)/¶x). В результате мы доказали теорему:
Для того, чтобы числовая функция f(t,x), имеющая непрерывные частные производные в области WÌU, была первым интегралом уравнения (1) в W, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в W соотношению: ¶f(t,x)/¶t+V(t,x)·(¶f(t,x)/¶x)=0.
Функция f(t,x)=const (тождественная постоянная) является первым интегралом любого уравнения (1), но это не дает ни какой информации о поведении интегральных кривых (поверхность уровня постоянной - все пространство Rn+1). В дальнейшем будем рассматривать только первые интегралы, отличные от постоянной.
Знание первого интеграла f(t,x) дает конечное соотношение f(t,x)=C между переменными t, x1, x2,…,xn выполняющееся на каждом решении уравнения (1). Это позволяет исключить одну из неизвестных из системы (1).
В идеале, предположим, что нам удалось найти n первых интегралов n-мерной системы (1), то есть получить соотношения: f1(t,x1,…,xn)=C1, f2(t,x1,…,xn)=C2,…,fn(t,x1,…,xn)=Cn (2). Выполняющиеся на каждой интегральной кривой. Предположим также, что первые интегралы f1,f2,…,fn функционально независимы, то есть (см на обороте) в U. Тогда, по теореме о неявных функциях, систему равенств (2) можно разрешить относительно x1,…,xn, получая для каждого набора констант C1,…,Cn решение уравнения (1). Очевидно, все решения получаются таким образом, то есть x1=j1(t,C1,…,Cn), x2=j2(t,C1,…,Cn),…,xn=jn(t,C1,…,Cn) есть общее решение уравнения (1).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.