Дифференциальное уравнение 1-го порядка как модель детерминированного и дифференцируемого процесса эволюции конечномерной системы. Уравнения, не разрешенные относительно производной, страница 6

До этого мы предположили, что n-мерная система (1) имеет n функционально независимых первых интегралов в своей области определения U. Существует следующая теорема:

У любой точки (t0,x0)ÎU существует окрестность W, в которой уравнение (1) имеет n функционально независимых первых интегралов f1(t,x),f2(t,x),…,fn(t,x) (3). Любой первый интеграл F(t,x) этого уравнения в W есть функция первых интегралов (3) в следующем смысле: F(t,x)=F(f1(t,x),f2(t,x),…,fn(t,x)), где F - непрерывно диффиренцируемая функция n числовых переменных.

Обратимся теперь к частному случаю n - мерного автономного уравнения x'=V(x) (4) с функцией V(x), непрерывной в области XÌRn вместе с производной ¶V/¶x.

Отметим некоторые специальные свойства первых интегралов не зависящих от t:

- Всякий первый интеграл f(x) уравнения (4) можно считать определенным  на фазовом пространстве X системы (4) или его части Z. Если же рассматривать его как функцию t,x, то он определен на (n+1) мерном множестве R´X или R´Z соответственно.

- Для не зависящего от t первого интеграла f(t) можно записать V(x)·(¶f(x)/¶x)=0.

В с этим, для всякой функции f(x): Z®R естественно ввести выражение LVf=V(x)·(¶f(x)/¶x) называемое производной функции f(t) по направлению векторного поля V(x). Величина LVf - это скорость изменения функции f при движении точки x по фазовой траектории поля V(x) со скоростью, предписываемым этим полем.

Существует следующая теорема: В некоторой окрестности любой не особой точки поля V(x), то есть точки x0ÎX такой, что V(x0)¹0, существуют n-1 функционально независимых первых интегралов уравнения (4), не зависящих от t.

25  Определение однородной функции. Однородное дифференциальное уравнение.

В начале дадим необходимое определение: числовая функция F(t,x) двух числовых переменных называется однородной степени r, если для любого действительного числа l¹0 верно равенство F(lt,lx)=lr*F(t,x)  (15).

Теперь рассмотрим одномерное уравнение x΄=F(t,x),  (16) в котором F – однородная функция степени 0, т.е. F(lt,lx)=F(t,x) при l¹0. Такое уравнение часто называют просто однородным. Не следует путать его с однородным линейным уравнением, где речь идет об однородности выражения x΄-a(t)*x как функции переменных x, x΄. Очевидно, поле направлений однородного уравнения инвариантно относительно преобразования подобия с центром в начале координат, т.е. изоклинами уравнения являются лучи, исходящие из начала координат. Сделаем замену зависимой переменной, переходя от x к y по формуле x = y*t. Дифференцирование этого равенства дает x΄ = y΄*t + y, в результате чего уравнение (16) переходит в уравнение y΄*t + y = F(t,y*t) = F(1,y) или y΄ = [F(1,y)–y]/t.

 

35. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

Рассмотрим одномерное уравнение первого порядка x'=V(t,x) (1). При математическом моделировании конкретных процессов определяющая его функция V(t,x) не обязательно возникает как явно заданная. Встречается ее неявное задание, когда вместо (1) приходится иметь дело с соотношением F(t,x,x')=0 (2). Его тоже принято называть дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции x(t). В таких случаях уравнение вида (1) называют уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Уравнение (2) - это более чем общий тип связи между переменными t, x, x', чем (1). Например, оно может иметь и не одно решение вида (1) относительно переменной x', то есть выражать сразу несколько законов эволюции (одномерной системы).

Простейший способ анализа уравнения (2), правда, применимый далеко не всегда, состоит в том, чтобы решить (20 в аналитической форме относительно x', переходя к уравнениям вида (1).