Обратно, всякая линия (9), касательная к которой в каждой ее точке имеет направление (10) есть интегральная кривая уравнения (3). Итак, векторное поле V(t,x) определяет в каждой точке (t,x) из U проходящую через эту точку прямую с направлением (10). Эта совокупность прямых задает поле направлений в U. По этому полю требуется восстановить множество интегральных кривых или хотя бы получить качественное представление об их поведении.
В случае n = 1 множество U и интегральные кривые – плоские, направление в каждой точке (t,x) из U задается одним числом V(t,x) – тангенсом угла наклона интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Одно дифференциальное уравнение может иметь много различных решений – реализаций эволюционного процесса. Задача о выделении одного из них, определяющего будущее и прошлое системы, находящейся в заданный момент t0 в заданном состоянии x0, называется начальной задачей или задачей Коши. Для ее решения требуется найти функцию (2), удовлетворяющую уравнению (3) и начальному условию или условию Коши, φ(t0) = x0 (11); Пара (t0,x0) называется при этом начальными данными или данными Коши. Геометрически, Задача Коши есть задача о проведении интегральной кривой через данную точку (t0,x0) из U.
Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде y΄=f(x)g(x) а также в виде M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0. Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только x, а в другую – только y, и затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные x и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
Пример (другой). Рассмотрим уравнение x΄=t·t (12) относительно числовой функции x(t) (n = 1). В данном случае U=R2, поле направлений V(t,x)=t·t не зависит от x . Оно позволяет приближенно изобразить интегральные кривые, не решая уравнение. Но в данном случае не составляет труда и найти все решения аналитически. Из вида Уравнения (12) следует, что речь идет о нахождении всех первообразных заданной функции t·t, т.е. о решении стандартной задачи интегрального исчисления. Т.о. (12) эквивалентно x(t)=((t·t·t)/3)+C, где С произвольная постоянная. Если речь идет о решении задачи Коши, то значение С находится из (11): С=x0-t0·t0·t0/3 откуда x(t) =x0+(t·t·t-t0·t0·t0)/3.
Пример x΄ =kx (18) в котором k>0 – заданная константа. Здесь U – вся плоскость t,x. Поле направлений инвариантно относительно сдвигов вдоль оси t. Решение xº0 при всех t из R называется стационарным, а сама точка x=0 – положением равновесия системы. Предположим теперь, при (t0,x0) из U с x0¹0, что существует решение x=j(t) соответствующей задачи Коши
Тогда непрерывная функция j(t) отлична от нуля и в некоторой окрестности точки t0. В этой окрестности можно записать dj(t)/dt=kj(t) или dj(t)/j(t)=kdt. Интегрируя последнее равенство от t0 до t получаем x=x0·ek(t-t0) (19). Эта формула показывает, что функция j(t), отличная от 0 в t0, определена при всех t из R и нигде не обращается в ноль. Положение равновесия неустойчиво. Уравнение (18) моделирует многие процессы.
Если j1(t) и j2(t) – два решения уравнения, определенные соответственно на интервалах J1, J2, таких, что J1Ì J2, то j2(t) называется продолжением решения j1(t). Если у некоторого решения j(t) нет продолжения, оно называется непродолжимым.
22. Математический маятник с трением (положение равновесия, полный анализ в случае отсутствия трения, включая частные случаи вблизи положений равновесия).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.