Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з курсу “Вищої математики”. Частина третя

ДонГТУ

Кафедра вищої математики

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання контрольних робіт

з курсу

“Вищої  математики”

Частина третя

(для студентів технічних спеціальностей заочної формі навчання)

Рекомендовано

на засіданні кафедри ВМ

Протокол № 6 от 13.03.07.г.

Затверджено

на засіданні методради ДГМІ

Протокол №.

Алчевськ 2007 г

3. Елементи комбінаторики

3.1.Основні формули комбінаторики.

3.2.Випадкові події та ймовірності

3.3.Алгебра подій. Основні поняття

3.4.Операції над подіями

3.5.Класичне визначення ймовірності

3.6.Алгебра ймовірностей

3.7.Теореми додавання ймовірностей

3.8.Умови ймовірності та незалежні події

3.9.Формула повної ймовірності. Формула Байєса

3.10.Послідовні незалежні випробування. Формула Бернуллі.

3.11.Формула Пуассона

3.12.Локальна теорема Муавра-Лапласа

3.13.Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

4. Випадкові величини

4.1.Випадкові величини та функції розподілу

4.2.Дискретні випадкові величини

4.3.Неперервні випадкові величини

4.4.Нормальний закон розподілу

4.5.Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.

5. Первинна обробка статичних даних

5.1.Перевірка даних

5.2.Групування статичних даних

5.3.Графічне представлення статистичних даних.

5.4.Точкові оцінки параметрів розподілу

5.5.Незгруповані статистичні дані

5.6.Статистичні дискретні та інтегральні ряди.

5.7.Метод "умовного нуля"

5.8.Інтегральні оцінки параметрів розподілу

5.9.Довірчі інтервали для деяких параметрів розподілу.

6. Перевірка статистичних гіпотез

6.1.Порівняння двох дисперсій нормально розподілених генеральних сукупностей

6.2.Порівняння двох математичних сподівань нормально розподілених сукупностей, дисперсії яких невідомі й однакові

6.3.Порівняння двох ймовірностей біноміальних розподілів

6.4.Перевірка гіпотези про вид розподілу генеральної сукупності за критерієм Персона

6.5.Перевірка гіпотези про вид розподілу генеральної сукупності за критерієм Колмогорова-Смирнова

7. Елементи кореляційного і регресійного аналізу

7.1.Кореляційне поле

7.2.Емпірична ламана регресії

7.3.Емпіричний коефіцієнт детермінації емпіричне кореляційне відношення

7.4.Лінійна регресія,

7.5.Перевірка коефіцієнта кореляції на значущість

7.6.Теоретичний коефіцієнт детермінації і теоретичне кореляційне відношення

7.7.Нелінійна кореляція.

7.8.Множинна регресія

Контрольна робота № 5

ЗАВДАННЯ №1.

ФОРМУЛА ПОВНОЙ ЙМОВІРНОСТІ ТА ФОРМУЛА БЕЙЄСА

Варіант 1

1. На складання поступають деталі від трьох автоматів. Перший дає 25%, другий – 30% і третій – 45% деталей даного типу, що поступають на складання. Перший автомат допускає 0,1% нестандартних деталей, другий – 0,2%, третій – 0,3%. Знайти ймовірність надходження нестандартної деталі.
2. У спеціалізовану лікарню поступають в середньому 60% хворих із захворюванням К, 30% хворих із захворюванням L, 10% - із захворюванням М. Імовірність повного виліковування хвороби К дорівнює 0,7, для хвороби L і М ці ймовірності дорівнюють 0,8 і 0,9. Знайти ймовірність того, що навмання взятого хворого, який поступив у лікарню, буде виписано здоровим.
3. Нехай за умов попередньої задачі хворого, який поступив у лікарню, було виписано здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав захворюванням К.

Варіант 2

1. Є два набори деталей. Ймовірність того, що деталь першого набору бракована, дорівнює 0,01, другого – 0,02. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь з навмання взятого набору доброякісна.
2. Для сигналізації про те, що режим роботи автоматичної лінії відхиляється від нормального, використовується індикатор. Він належить з ймовірностями 0,2, 0,3, і 0,5 до одного з трьох типів, для яких імовірність спрацьовування при порушенні нормальної роботи дорівнюють, відповідно, 0,9, 0,7, та 0,6. Знайти ймовірність того, що навмання взятий індикатор спрацює при порушенні нормальної роботи лінії.
3. Нехай за умов попередньої задачі від індикатора одержано сигнал. Знайти ймовірність того, що індикатор належить до першого типу.

Варіант 3

1. Є три урни з кулями. В першій урні 4 білі та 3 чорні, у другій 5 білих та 2 чорні, в третій 2 білі та 5 чорних. Хтось обирає навмання одну урну і виймає з неї кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля – біла.
2. На двох автоматичних верстатах виготовляються однакові деталі. Відомо, що ймовірність виготовлення деталі найвищої якості на першому верстаті дорівнює 0,92, а на другому – 0,8. Виготовлені на обох верстатах не розсортовані деталі знаходяться на складі. Серед них деталей, виготовлені на першому верстаті, у 3 рази більше, ніж на другому. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь буде деталлю найвищої якості.
3. Нехай за умов попередньої задачі навмання взята деталь виявилась найвищої якості. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена на другому верстаті.

Варіант 4

1. Певний вибір поступити для обробки випадковим чином на один з трьох верстатів з ймовірностями, що дорівнюють відповідно 0,2, 0,3 та 0,5. Під час обробки на першому верстаті ймовірність браку дорівнює 0,02, на другому – 0,03, на третьому – 0,05. Знайти ймовірність того, що вибір, який поступив у цех, після обробки відповідатиме технічним умовам.
2. Нехай за умов попередньої задачі вибір, який поступив у цех, відповідає технічним умовам. Яка ймовірність того, що цей виріб оброблявся на третьому верстаті?
3. В ящику знаходяться 5 деталей, серед яких можуть бути і браковані. Вийнята навмання деталь виявилась не бракована. Знайти ймовірність того, що 3 деталі в ящику не браковані, а 2 браковані, якщо припустити, що перед дослідом всі гіпотези рівно можливі.

Варіант 5

1. Радіолампа належить до однієї з двох партій з ймовірностями р₁ = 0,6 і р₂ = 0,4. Ймовірність того, що лампа працюватиме задану кількість годин дорівнює відповідно для цих партій 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що вибрана навмання лампа працюватиме задану кількість годин.
2. Нехай за умов попередньої задачі лампа пропрацювала задану кількість годин. Яка ймовірність того, що вона належить до першої партії?
3. В ящику знаходяться 4 деталі, серед яких можуть бути і браковані. Вийнята навмання деталь виявилась доброякісною. Знайти ймовірність того, що всі деталі в ящику доброякісні. Знайти ймовірність того, що всі деталі в ящику доброякісні, якщо припустити, що перед дослідом всі гіпотези рівно можливі.

Варіант 6

1. У першій коробці 20 деталей, серед яких 18 стандартних, у другій – 10 деталей, серед них 7 стандартних. З другої коробки навмання взято одну деталь і перекладено у першу. Знайти ймовірність того, що деталь, вийнята навмання з першої коробки, буде стандартною.
2. Нехай за умов попередньої задачі деталь, яку вийняли з першої коробки, виявилась стандартної. Знайти ймовірність того, що з другої коробки в першу перекладена стандартна деталь.
3. Деталі, виготовлені в цеху деякого заводу, попадають для перевірки їх на стандартність до одного з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0,6, а другого – 0,4. імовірність того, що стандартну деталь буде визнано стандартною першим контролером, дорівнює 0,94, а дргуим – 0,98. знайти ймовірність того, що стандартну деталь буде визнано стандартної.