Збірник завдань для контролю вхідного рівня знань з математики, страница 6

6. Вектори  і  утворюють кут j = 120°, причому ||=3 і ||=5. Визначити || та ||.

7. Якій умові повинні задовольняти вектори  і  щоб мали місце такі співвідношення:

1)||=||; 2)||>||; 3)

8. Якій умові повинні задовольняти вектори  і , щоб вектор ділив навпіл кут між векторами  і .

9. За даними векторами  і  побудувати такі вектори:

 

10. Точка О є центром ваги трикутника АВС. Довести, що

11. Перевірити колінеарність векторів ={2; -1; 3} і {-6; 3; -9}. Визначити, який з них довше і у скільки разів, як вони направлені- в один бік чи в протилежні сторони.

12. Визначити,при яких значеннях a,b вектори =-2i+3j+bk  та =ai-6j+2k колінеарні.

13. Перевірити та впевнитись, що чотири точки А(3; -1; 2),В(1; 2;-1), С(-1;1;-3), D(5;0;4) служать вершинами трапеції.

14. Маємо точки А(-1; 5; -10), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7) та D(5; -4;2).

Перевірити і впевнитись, що вектори  та  колінеарні; встановити який з них довше і у скільки разів, як вони направлені- в один бік чи в протилежні сторони.

15. Маємо дві вершини А(2; -3;-5), В(-1;3; 2) паралелограма АВСD і точка перетину його діагоналей Е(4; -1; 7).Визначити дві інші вершини цього паралелограма.

Геометрія

  1.  Із точки А, яка не лежить на колі, проведені до неї дотична і січна. Відстань від точки А до точки дотику дорівнює 16 см, а відстань від точки А до однієї з точок перетину січної з колом дорівнює 32 см. Знайти радіус кола, якщо січна віддалена від центра на 5 см.

  2.  Основа рівнобедреного трикутника дорівнює  см, а медіана бічної сторони дорівнює 5 см. Знайти бічну сторону.

  3.  Сума довжин діагоналей ромба дорівнює m, а його площа дорівнює S. Знайти сторону ромба .

  4.  Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює 90⁰. Знайти відношення бічної поверхні цієї піраміди до площі її основи.

  5.  У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють а і b, гострий кут між ними дорівнює 60⁰. Більша діагональ основи дорівнює меншій діагоналі паралелепіпеда. Знайти об¢єм паралелепіпеда.

  6.  Знайти довжину твірної конуса, нахиленої до площі основи під кутом a, якщо вписана в нього правильна трикутна призма, основа якої лежить у площині основи конуса, має ребра в основі довжиною а і бічні ребра довжиною 2а.

  7.  Усередині прямого кута дана точка М, відстані якої від сторін кута дорівнюють 4 см і 8 см. Пряма, що проходить через точку М, відсікає від прямого кута трикутник з площею 100 см². Знайти катети трикутника.

  8.  Основи трапеції дорівнюють 4 см і 16 см. Знайти радіуси кіл, вписаного і описаного навколо неї, якщо відомо, що ці кола існують.

  9.  Вершини прямокутника, вписаного в коло, поділяють його на чотири дуги. Знайти відстані від середини однієї з більших дуг до вершини прямокутника, якщо сторони його дорівнюють 24 см і 7 см.

10.  Основою паралелепіпеда служить ромб зі стороною а і гострим кутом 30⁰. Діагональ однієї бічної грані перпендикулярна до площі основи, а бічне ребро складає з площиною основи кут 60⁰. Знайти повну поверхню і об¢єм паралелепіпеда.

11.  Кут між твірною конуса і площиною основи дорівнює 30⁰. Бічна поверхня конуса дорівнює  см. Визначити об¢єм правильної шестикутної піраміди, вписаної в цей конус.

ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ШКІЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ

Алгебра

Дії із степенями

1. .

2. .

3. a^m ·аⁿ =a^{m + n}.

4. a^m : aⁿ =a^{m - n};.

5. 1: aⁿ= a^-n.

6. (a ^m ) ⁿ =  a^{m n}.

Дії з коренями

1. .

2. .

3. .

4. .

Квадратні рівняння

ax²+bx+c=0; (a¹0)

x_1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b²– 4ac

D>0® x₁¹x₂ ;D=0® x₁=x₂

D<0, коренів немає.

Теорема Вієта:   x² + px+q =0

x₁+x₂ = -p,      x₁×x₂ = q.

Якщо p=2k (p-парне) та   x²+2kx+q=0,   то x_1,2  = -k±Ö(k²-q).

Прогресії

Формули арифметичної прогресії

;

;

.

Формули геометричної прогресії

;

;

;

 (нескінченна спадна геометрична прогресія).

Формули скороченого множення і розкладання на множники

(a±b)²=a²±2ab+b²;

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³;

a²-b²=(a+b)(a-b);

a³±b³=(a±b)(a²‡ab+b²);

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂  –  корені рівняння     ax²+bx+c=0.

Логарифми

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Тригонометрія

sin² a + cos² a =1;