Постановка транспортной задачи в матричной форме. Симплекс метод решения задачи линейного программирования, страница 14

Вернемся к нашей модели:

4x₁+2x₂+0x₃+1x₄  740

   2x₁+0x₂+2x₃+1x₄  760

   2x₁+2x₂+2x₃+0x₄  770

   2x₁+2x₂+1x₃+1x₄  800

   0x₁+2x₂+2x₃+2x₄  700

10x₁+8x₂+9x₃+12x₄ =F( max)

Х₁

Х₂

Х₃

Х₄

Подставим значения наших неизвестных в оптимальном плане в систему неравенств модели. Имеем:

740=740

545<760

195<770

545<800

700=700

О чем говорят эти результаты? О том, что первое и пятое  неравенства выполняются как равенства, т.е. ресурсы используются полностью, а второе, третье и четвертое неравенства выполняются как строгое - имеются излишние ресурсы в количестве: 760-545=215,770-195=575, 800-545=255 . Этому же соответствуют и значения дополнительных переменных x₆=215, х₇=575, x₈ =255. Если в базисе оптимального плана имеются дополнительные переменные со значениями более 0, то они всегда указывают на на соответствующий излишек ресурсов.

2. Рассмотрим теперь показатели индексной строки относительно переменных х₁,х₂,х₃,х₄. Обратим внимание на то, что если переменная находится в базисе оптимального плана, то значение соответствующего коэффициента в индексной строке равно нулю, что мы и видим для переменных х₁ и х₄. Экономический смысл этих показателей выражается в потерях, которые может иметь производство, если захочет изготавливать соответствующие изделия. Иными словами если производство первого изделия войдет в базисный (уже неоптимальный план, то мы понесем убыток в 1,5 единиц прибыли: F=5175-1,5=5173,5 единиц.

3. Коэффициенты в индексной строке для дополнительных переменных  характеризуют эффективность используемых ресурсов и называются двойственными, или объективно обусловленными оценками ресурсов. Вспомним, что когда мы на первом шаге вводили переменные х₅, х₆, х₇ х₈, х₉, они использовались для составления канонической формы, т.е. приведения к уравнениям нежестких неравенств относительно трех видов ресурсов. Первый и пятый вид ресурсов используются полностью, а второй, третий и четвертый - нет.

4. Свойства двойственных оценок. Чем выше оценка, тем эффективнее используется ресурс. Двойственная оценка характеризует прирост прибыли на единицу прироста соответствующего ресурса. Например, ресурсы четвертого вида наиболее эффективны для производства. Каждая единица прироста этого ресурса обеспечивает увеличение целевой функции на 4,75 единицы. Если ресурсы второго вида увеличатся на две единицы, то значение F составит: F=5175+2*4,75=5184,5 единиц.

Двойственная оценка недоиспользуемых ресурсов всегда равна нулю, что и видно для наших второго,  третьего и четвертого ресурсов. Прирост ресурсов второго, третьего и четвертого видов  привел бы к росту их недоиспользуемых остатков. Непреложным свойством двойственных оценок является их устойчивость при изменении ограничений (ресурсов). Это позволяет их использовать для практических целей анализа, планирования и прогнозирования на производстве.

При решении симплекс- методом задач на максимум в оптимальном плане величина целевой функции равна стоимости используемых ресурсов.

Введем обозначения для двойственных оценок: *y₁=2,5, *y₂=0, *y₃=0,*y₄=0, *y₅=4,75.

Теперь рассчитаем: Y=y₁*b₁+y₂*b₂+y₃*b₃+y₄*b₄+y₅*b₅=2,5*740+0*760+0*770+0*800+4,75*700=5175=F.