Уравнения динамики атмосферы. Силы инерции. Уравнение неразрывности. Силы, действующие в атмосфере

14. Уравнения динамики атмосферы

Уравнения, определяющие детали движения воздуха, обсуждаются в данном разделе. Очевидно, естественно было бы начать с уравнения Ньютона – второго закона механики. Однако здесь следует вспомнить еще раз, что система координат, связанная с вращающейся Землей, существенно неинерциальна, и потому законы механики в такой координатной системе выглядят несколько отлично от того, к чему мы привыкли. Поскольку существует довольно много аргументов для того, чтобы использовать именно такую систему, постольку следует выяснить, к каким конкретным изменениям приводит переход к вращающейся системе координат.

14.1. Силы инерции

Пусть имеется инерциальная прямоугольная система координат с осями a, b, c. Инерциальной называется система отсчета, в которой тело в отсутствие действующих на него сил движется прямолинейно и равномерно. Существует бесконечное множество инерциальных систем, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно и связанных друг с другом преобразованиями Галилея. Будем считать, что выбранная прямоугольная система является абсолютной в том смысле, что мы определяем скорости всех тел по отношению к этой системе отсчета. В этой системе вектор  r материальной точки М определен своими проекциями на оси a,b,c (рис. 14.1):

              ,  ,

где  - единичные орты координатных осей, операция  означает скалярное произведение двух векторов. Пусть имеется также еще одна прямоугольная система координат с тем же началом, осями x, y, z, определенными ортами  , и вращающаяся с постоянной угловой скоростью Ω относительно первой[1]. Тот же вектор  r во вращающейся системе координат определен  проекциями на оси x, y, z:

                                                .

Вектор абсолютной скорости точки  М (скорости в исходной инерциальной системе отсчета) получается дифференцированием r по времени: . Однако в случае использования второго представления вектора следует учесть, что единичные орты вращающейся системы координат изменяют свое положение в пространстве с течением времени (изменяют свои координаты в исходной системе координат). Поэтому справедливо выражение

                .                         (14.1)

Выражение в первых скобках в правой части (14.1) есть ни что иное, как вектор скорости относительного движения точки (скорости точки относительно подвижной системы координат, то есть, скорости изменения проекций радиус-вектора точки на оси подвижной системы). Выражение во вторых скобках - вклад в абсолютную скорость за счет движения вращающейся системы относительно неподвижной (скорость переносного движения).

Орты вращающейся системы координат являются обычными векторами, и для их скорости в неподвижной системе координат имеем

              ,                        (14.2)

где  означает векторное произведение двух векторов: длина результирующего вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на исходных векторах (произведение длин векторов на синус угла между ними), а направление определяется по правилу винта при вращении первого вектора в направлении второго. В частности, длина произведения   есть расстояние конца орта до оси вращения, умноженное на угловую скорость вращения, и равна линейной скорости вращения конца орта. Для вычисления векторного произведения часто используют следующее равенство

           .

Здесь прямые вертикальные линии обозначают детерминант (определитель).

Подставляя соотношения (14.2) в формулу для абсолютной скорости (14.1), находим

                                ,                                                           (14.3)

где оператор   означает дифференцирование по времени в предположении, что вращающаяся система координат покоится, то есть,  орты осей координат не зависят от времени. Иными словами, операция  определяет относительную скорость изменения вектора  . Выражение (14.3) справедливо для любого вектора, приложенного к началу вращающейся системы координат. Поэтому для ускорения материальной точки получаем

                          .                                                  (14.4)

Если раскрыть произведение в правой части (14.4),  получим с учетом постоянства угловой скорости

                                 .                                                               (14.5)

Здесь  называют ускорением относительного движения, второй член в правой части  - центростремительным ускорением, а третий - ускорением Кориолиса.

Приведенные формулы становятся актуальными, при переходе к системе координат, связанной с Землей. Очевидно, такая система координат не является инерциальной, в первую очередь,  из-за вращения Земли вокруг своей оси. В то же время второй закон Ньютона, определяющий ускорение движения в зависимости от действующих сил, справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Очень хорошей инерциальной системой является так называемая гелиоцентрическая система координат, связанная с Солнцем, и с осями координат, зафиксированными по отношению к другим звездам. В этой системе Земля совершает движение по эллиптической траектории вокруг Солнца и вращается вокруг своей оси.