Ответы на вопросы коллоквиума № 1 по дисциплине "Математический анализ"

1)lim(x->x₀)f(x)=Aó(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<|x-x₀|<δ=>|f(x)-A|<ε);T(прямая):Если lim(x-x₀)f(x)=A, то f(x)=A+α(x), где α(x)-б/м в точке x₀ Т(обратная):Если f(x) можно представить как сумму нек.числа A+α(x), где α(x)-б/м в точке x₀, то lim(x->x₀)f(x)=A

2)lim(x->x₀-0)f(x)=Aó(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<x₀-x<δ=>|f(x)-A|<ε); lim(x->x₀+0)f(x)=Aó(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<x-x₀<δ=>|f(x)-A|<ε)

Для того, чтобы существовал предел функции в точке, необходимо, чтобы существовало оба односторонних предела функции в точке и были бы равны между собой.

3)lim(x->∞)f(x)=∞ó(VM>0)(сущ.N>0)(|x|>N=>|f(x)|>M); lim(x->∞)f(x)=Aó(Vε>0)(сущ.N>0)(|x|>N=>f(x)-A<ε);

lim(x->∞)f(x)=0ó(Vε>0)(сущ.N>0)(|x|>N=>|f(x)|<ε)

4)Функция f(x) называется ограниченной в δ окрестности, если существует М>0 для любого х€О(х₀,δ), |F(x)|≤M. Функция не являющаяся ограниченной на множестве Х, является неограниченной на этом множестве. T:Если функция f(x) имеет предел в точке x₀, то она ограничена в окрестности этой точки.

5)Последовательностью называется функция натурального аргумента. lim(n->∞)U_n=Aó(Vε>0)(сущ.N>0)(n>N=>|U_n-A|<ε)

То, что последовательность имеет предел, геометрически будет означать следующее:(рис); Каким бы ни было маленьким ε, внутри окрестности точки А содержится бесконечно много членов последовательности, а за её пределами лишь конечное число. Т:Если последовательность U_n возрастает(убывает) и ограничена сверху(снизу), то она имеет предел. lim(n->∞)(1+1/n)ⁿ=e

6)Сравнить две б/м α и β – это значит найти предел их отношений limα/β

а)limα/β=0. В этом случае говорят, что α-б/м более высокого порядка, чем β

б)limα/β=∞. В этом случае говорят, что β-б/м более высокого порядка, чем α

в)limα/β=M≠0. α и β – одного порядка. Говорят, что α будет б/м n-ого порядка по сравнению с β; г)limα/β=1, α и β – эквивалентные б/м

Если отношение двух бесконечно-малых β/α стремится к единице, т.е. limα/β=1, то бесконечно малые β и α называют эквивалентными бесконечно малыми. Если α и β – эквивалентные б/м, то α-β есть б/м более высокого порядка, чем α и чем β

7)При x->0:x~sinx,tgx,arcsinx,arctgx,e^x-1,ln(1+x);1-cosx~x²/2;α^x-1~xlna

8)Функция y=F(x) называется непрерывной в точке х₀, если 1)она определена в этой точке и некоторой её окрестности; 2)lim(x->x₀)f(x)=f(x₀)

9)Функция F(x) называется непрерывной слева(справа) в точке х₀, если 1)она определена в точке х₀ и в левой (правой) полуокрестности; 2)lim x->x₀±0 f(x)=f(x₀); Функция называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, в точке а справа и в точке b слева.

10)T:Сумма, произведение конечного числа непрерывных функций-есть функция непрерывная. Частное двух непрерывных функций-функция непрерывная во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в 0. Суперпозиция конечного числа непрерывных функций-есть функция непрерывная.

11)Функция y=F(x) называется непрерывной в точке х₀, если 1)она определена в этой точке и некоторой её окрестности; 2)lim(x->x₀)f(x)=f(x₀); Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена.

12)Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке существуют поперечные односторонние пределы и хотя бы один из них не совпадает со значением функции в этой точке. Разрыв I рода называется устранимым, если односторонние пределы равны, если не равны, то разрыв называется неустранимым и разница между этими неравными односторонними пределами называется скачком функции. К разрыву II рода относятся точки в которых хотя бы один из односторонних пределов=0 или не сущ.

13)(Т.Вейерштрасса)Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке. Функция, непрерывная на отрезке достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значения. (Т.Коши)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и если f(a)=A<B=f(b), тогда, какого бы ни было С, удовлетворяющ.неравенству A<C<B, сущ.точка с€(a,b), такая что f(c)=C; Следствие(из Т.Коши):Если f(x) непрерывна на [a,b] и в концах отрезка принимает значение разных знаков, то найдётся хотя бы одна точка, значение функции в которой будет равно 0. (f(c)=0)

14)Производной ф. f(x) по аргументу x называется lim(∆x->0)∆y/∆x.Касательная:y-f(x₀)=f ‘(x₀)(x-x₀);нормаль:y-f(x₀)=(-1/f ‘(x))(x-x₀)

15)Ф. y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если приращение в этой точке ∆y можно представить как ∆y=A∆x+α(∆x), где А-нек.постоянная, а α(∆x)-б/м при ∆x->0, более высшего порядка, чем ∆x.Если ф. y=f(x) имеет производную f ‘(x) в т. x, то произведение производной f ‘(x) на приращение ∆x аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy.(рис) С точки зрения геометрии, dy-приращение ординаты т.касания. dy-функция, зависящая от переменных f(x) и ∆x.