19)Если f(x) дифференцируема в интервале (a,b), возрастает(убывает) в этом интервале, то Vx€(a,b), f ‘(x)≥0(f ‘(x)≤0). Док-во:(рис) x1<x2; (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0; lim(x2->x1)(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≥0=>f ‘(x+0)≥0. (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0;(рис) lim(x2->x1)(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≥0=> f ‘(x-0)≥0=>f ‘(x0)≥0.
20)Vx€(a,b)сущ.f ‘(x)>0(f ‘(x)<0), тогда на интервале (a,b) функция возрастает(убывает); Док-во:(рис)x1<x2; f(x2)-f(x1)=f ‘(c)(x2-x1); f(x2)>f(x1); А это и говорит о том, что ф.на (a,b)-возрастающая.
21)Если функция f(x) имеет max в т.x0, то f ‘(x) либо=0, либо не сущ. Док-во: lim(x->x0-0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)≥0; lim(x->x0+0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)≤0; Отсюда: если f ‘(x0) сущ., то f ‘(x0)=0. Если же f ‘(x0-0) и f ‘(x0+0) дают разные значения, то f ‘(x0) не сущ.
22)Если f(x) непрерывна в точке x0 и если 1)x<x0, f ‘(x)>0(f ‘(x)<0); 2)x>x0, f ‘(x)<0(f ‘(x)>0), то т.x0 – т.max(min). Док-во: x<x0f ‘(x)>0=>f(x)-возрастает=>f(x)<f(x0); x>x0f ‘(x)<0=>f(x)-убыв.=>f(x)<f(x0)=>x0-т.max.
23)Если f(x) в т.x0 удовлетворяет след.условиям: 1)f ‘(x)=0; 2)f ‘’(x)сущ.и непрерывна в нек.окрестности x0; 3)f ‘’(x0)>0, то x0-т.min f(x); Док-во: т.к. f ‘’(x0)>0, то в силу непрерывности f ‘’(x), f ‘’(x) сохраняет знак в нек.окрестн.т.x0. (f ‘(x))’>0=>f ‘(x)-возрастает. (рис)При x<x0, f ‘(x)<0; при x>x0, f ‘(x)>0=>x0-т.min.
24)a)(ax)’=axlna; y=ax, ∆y=ax+∆x-ax, y’=lim(∆x->0)∆y/∆x=lim(∆x->0)(ax(a∆x-1))/∆x=axlim(∆x->0)(e∆xlna-1)/∆x=axlna; б)(ex)’=exlne=ex; в)(logax)’=1/xlna; y=logax, x=ay, y’=(1/xy)’=1/(aylna)=1/xlna; г)(lnx)’=1/x; (lnx)’=1/(xlne)=1/x
25)При ∆x->0,∆y и dy – эквивалентные б/м. lim(∆x->0)∆y/dy=1. lim(∆x->0)(f ‘(x)∆x+α∆x)/( f ‘(x)∆x)=lim(∆x->0)(1+α/f ‘(x))=1. Таким образом при достаточно малом ∆x,∆y≈dy. f(x0+∆x)-f(x0)≈f ‘(x0)∆x; f(x0+∆x)≈ f(x0)+f‘(x0)∆x
Инвариантность: 1)y=y(x), x-независимая переменная. dy=yx’dx; 2)y=y(x),x=x(t), x-промежуточный аргумент. y=y(x(t)). dy=yt’dt=yx’xt’dt=yx’dx. d2y=d(dy)=d(yx’dx)dx=yxx’’(dx)2. Заметим, что дифференциалы высшего порядка свойством инвариантности не обладают.
26)Вертикальная: для того, чтобы вертикальная асимптота сущ. в точке a, хотя бы один из односторонних пределов должен равняться ∞. lim(x->a-0)f(x) или lim(x->a-0)f(x)=∞. Наклонная: y=kx+b. k=lim(x->±∞)f(x)/x; b=lim(x->±∞)(f(x)-kx)
27)Логарифмическое дифференцирование состоит в последовательном применении к равенству, в котором задаётся функция сначала действия логарифмирование, а потом дифференцирование. а)y=xα; lny=αlna; (1/y)y’=α(1/x); y’=αxα(1/x)=αxα-1. б)y=UV; U=U(x),V=V(x);lny=VlnU;(1/y)y’=V’lnU+V(1/U)U’; y’=UV(lnUV’+V(1/U)U’)=VUV-1U’+UVlnUV’
28)1)Пусть y=f(x) дважды дифференцируема на (a,b) и f ‘’(x)<0(f ‘’(x)>0) для любого x€(a,b), тогда график функции y=f(x) выпуклый(вогнутый) на (a,b).2)Т.перегиба следует искать там, где f ‘’(x)=0, это необходимое условие сущ.перегиба. А достаточным условием является смена знака у f ‘’(x) при переходе через подозрительную точку.
29)a)arcsinx~x(x->0): lim(x->0)arcsinx/x=lim(x->0)1/√(1-x2)=1; б)arctgx~x(x->0): lim(x->0)arctgx/x=lim(x->0)1/(1+x2)=1; в)ex-1~x(x->0): lim(x->0)(ex-1)/x=limex=1; г)ln(1+x)~x(x->0): lim(x->0)ln(1+x)/x=lim(x->0)
30)Если на промежутке (a,b) f ‘(x)=0Vx€(a,b), то на промежутке (a,b), функция f(x) постоянна. Док-во:(рис) [x1,x2]€(a,b); f(x2)-f(x1)=f ‘(c)(=0)*(x2-x1); f(x2)=f(x1); Зафиксируем f(x1) и тогда получим, что значение ф.в любой другой т.x0 интервала(a,b) совпадает с f(x0), т.е.f(x) постоянна в интервале (a,b).
3)
15)
26)
7)
15)
16)
19)
20)
23)
30)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.