Ответы на вопросы коллоквиума № 1 по дисциплине "Математический анализ", страница 4

9)Сумма, произведение конечного числа непрерывных ф.-есть функция непрерывная. Частное двух непрерывных функций-функция непрерывная во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в 0. Суперпозиция конечного числа непрерывных фю-есть функция непрерывная. Дано:f(x),φ(x)-непрерывные ф. в т.x₀; док.:f(x)*φ(x)-непрерывна в т.x₀; Док-во:lim(x->x₀)(f(x)φ(x))=lim(x->x₀)f(x)* *lim(x->x₀)φ(x)=f(x₀)φ(x₀)

11)(sinx)’=cosx; ∆y=sin(x+∆x)-sinx=2sin(∆x/2)cos(x+(∆x/2)); lim(∆x->0)(2sin(∆x/2))/(∆x/2)*cos(x+(∆x/2))=cosx. (cosx)’=-sinx; (cosx)’= (sin(x+π/2))’=cos(x+π/2)=-sinx. (tgx)’=1/cos²x; (tgx)’=(sinx/cosx)’=(cos²x-(-sinx)sinx)/cos²x=1/cos²x. (ctgx)’=-1/sin²x; (ctgx)’=(cosx/sinx)’=  ((-sinx)sinx-cos²x)/sin²x=-1/sin²x

12)(arcsinx)’=1/√(1-x²); α=siny; (arcsinx)’=1/(siny)’=1/cosy=1/cos(arcsinx)=1/√(1-x²); sin(arcsinx)=x; cosα=±√(1-sin²x); cos(arcsinx)=         √(1-sin²arcsinx)=√(1-x²). (arccosx)’=-1/√(1-x²). (arctgx)’=1/(1+x²); y=arctgx; x=tgy; (arctgx)’=1/(tgy)’=cos²y=cos²arctgx; 1/cos²x=1+tg²x. (arcctgx)’=-1/(1+x²)

14)Для того, чтобы ф. f(x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке сущ. её производная. Необходимость:дано:∆y=A∆x+α∆x; док.:сущ.lim(∆x->0)∆y/∆x. Док-во:∆y/∆x=A+α; lim(∆->0)∆y/∆x=A Достаточность:дано:сущ.    lim(∆x->0)∆y/∆x=f ‘(x).док.:∆y=f ‘(x)∆x+α∆x. Док-во:∆y/∆x=f ‘(x)+α; ∆y=f ‘(x)∆x+α∆x. Если ф. имеет в точке x производную, то она непрерывна в этой точке. Дано:сущ.lim(∆x->0)∆y/∆x=f ‘(x); док.:lim(∆x->0)∆y=0; док-во:∆y/∆x=f ‘(x)+α(∆x); ∆y=f ‘(x)∆x+α(∆x)∆x->0 при ∆x->0.

15)Если функция f(x) 1)непрерывна на отрезке [a,b], 2)дифференцируема на (a,b), 3)f(a)=f(b), то сущ. точка С€(a,b), такая что f’(С)=0. Док-во: По 2ой теореме Вейерштрасса на [a,b] найдётся хотя бы по одной точке, в которой значение ф.будет равно m и M.1)m=M=>f ‘(x)=0 Vx€(a,b); 2)m≠M. Предположим, что m=f(a)=f(b); M=f(C),C€(a,b). a)(f(x-f(c))/(x-c)>0=>lim(x->c-0)(f(x)-f(c))/(x-c)≥0; x<c; б)(f(x)-f(c))/(x-c)<0=>lim(x->c+0)(f(x)-f(c))/(x-c)≤0; x>c; из а) и б) следует, что f ‘(c)=0(рис)

16)Если функция f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема в (a,b), то найдётся такая точка  с€(a,b), что f ’(с)=(f(b)-f(a))/(b-a). Геометр.смысл:правая часть этого равенства есть tg угла наклона к оси x хорды, стягивающей точки (a;f(a))и(b;f(b))графика ф. y=f(x), а правая часть есть tg угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке c€(a,b). Док-во:f(x)=f(x)+kx удовлетворяет первым двум условиям теоремы Роля. Определим k таким образом, чтобы f(x) удовлетв.усл.f(a)=f(b); f(a)=f(a)+ka; f(b)=f(b)+kb; f(a)=f(b)=>k=-(f(b)-f(a))/(b-a); f(x)=f(x)-(f(b)-f(a))x/(b-a); (сущ.с€(a,b))(f ‘(c)=0); f ‘(x)=f ‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a); f ‘(c)=f ‘(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 =>f ‘(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)(рис); формулы приращ.:1)f(b)-f(a)=f ’(с)(b-a); 2)f(x+∆x)-f(x)=f‘(с)∆x; 3)f(x+∆x)-f(x)=f ‘(x+ ∆x)∆x

17)Пусть функции f(x) и φ(x) 1)непрерывны на [a,b]; 2) дифференцируемы на (a,b); 3)φ’(x)≠0Vx€(a,b), тогда(сущ.т.с€(a,b))(f ‘(c)/φ’(c)= (f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))). Док-во:f(x)=f(x)+kφ(x). Эта ф.удовл.двум условиям теоремы Ролля, а чтобы она удовл.3-ему усл.теоремы,надо, чтобы f(a)+kφ(a)=f(b)+kφ(b); k=-(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a)), тогда по теореме Роля, сущ.т.С€(a,b), такая что f ’(c)=0; f ‘(c)=f(c)-(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a)); φ’(c)=0; f ‘(c)/φ’(c)=(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a)).

18)0/0 и ∞/∞. Пусть f(x) и φ(x) 1)дифференцируемы в окрестности т.a(не обязательно в т.a); 2)lim(x->a)f(x)=lim(x->a)φ(x)=0; 3)сущ.lim(x->a)f ‘(x)/φ’(x), тогда сущ.lim(x->a)f(x)/φ(x)=lim(x->a)f ‘(x)/φ’(x).Док-во:Определим f(x) и φ(x) в т.а; f(a)=φ(a)=0. Применим к [a,x] теорему Коши. lim(x->a)f(x)/φ(x)=lim(x->a)(f(x)-f(a))/(φ(x)-φ(a))=lim(x->a)f ‘(c)/φ’(c)=lim(c->a)f ‘(c)/φ’(c)=lim(x->a)f ‘(x)/φ’(x). Если f ‘(x) и φ’(x) удовлетворяют условиям правила Лопиталя, то его можно применить ещё раз.