Вопросы по курсу «Математический анализ»
1. Теория множеств. Функции, отображения. Счетные и бесконечные множества. Мощность множества, несчетные множества. Теорема Кантора.
2. Метрические пространства. Открытые, замкнутые множества, предельные точки, ограниченные множества, всюду плотные множества, внутренние точки. Теорема о предельной точке. Теорема об открытом множестве. Теорема об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств. Открытое покрытие. Компакт.
3. Верхняя и нижняя грань множества. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков. Теорема Коши-Кантора. Теорема Вейерштрасса.
4. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности, расходящиеся последовательности, конечные и бесконечные. Теорема о сходящихся последовательностях. Подпоследовательности, частичные пределы. Ограниченность последовательности. Монотонные последовательности, фундаментальные последовательности. Теорема Вейерштрасса об ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Теорема Коши. Бесконечно малые последовательности, бесконечно большие последовательности. Свойства пределов последовательности.
5. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Основные теоремы. Положительные ряды. Гармонический ряд. Теорема сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Знакопеременный ряд. Теорема Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.
6. Функция. Предел функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел, теорема о сохранении знака, теорема о предельном переходе в неравенстве, теорема о пределе промежуточной переменной. Односторонние пределы, бесконечные пределы. Основные приемы вычисления пределов (I, II замечательные пределы). Непрерывность функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Отношение порядка. Эквивалентность функции, абсолютная и относительная погрешность. Приемы вычисления пределов. Точки разрыва функции (I и II-го рода). Монотонные функции. Теорема о возрастании на множестве X функции. Точки разрыва монотонной функции на интервале. Критерий Коши. Функции, непрерывные на множестве. Теорема Вейерштрасса. Теорема Больцано-Коши. Следствия. Обратные функции. Лемма о строго монотонной функции. Теорема об обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Следствия. Геометрическая интерпретация.
7. Производная и дифференциал. Односторонние производные. Дифференцирование функции. Теорема о дифференцировании функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Геометрическая интерпретация производной. Правила вычисления производных. Производные от обратных функций, сложных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о среднем. Теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши. Правило Лопеталя. Признак монотонности функции. Теорема о необходимом условии существования экстремума, о достаточном условии существования экстремума. Точки перегиба, выпуклые функции. Достаточное условие выпуклости, необходимое условие существования точек перегиба, достаточное условие существования точек перегиба. Асимптоты. Алгоритм исследования функции.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.