Доказательства теорем:
1) Теорема Кантора
Доказательство: Если бы множество всех действительных чисел было счетным, то т.к. любое бесконечное подмножество счетного множества счётно, то и любое его подмножество, в частности, любой отрезок, что противоречит тому, что любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.
2) Теорема о предельной точке
Формулировка: Если (.)p – это предельная точка X, то любая окрестность (.)p содержит бесконечно много точек множества X
Доказательство: предположим, что существует такая окрестность (.)p, которая содержит конечное число точек множества X.
q1,q2,…,qn – это точки множества NÇX
qi¹p, i=1,2,…,n
Рассмотрим расстояние от (.)p до всех точек qi и выберем минимальное.
r=min r(p,qi)>0
Построим окрестность радиуса r с центром в точке p. Nr(p)=B(p,r). Построим окрестность (.)p радиуса q. Эта окрестность не содержит ни одной точки из X.
qÎX, q¹p
По определению, (.)p не может быть предельной точкой X. Противоречие.
3) Теорема об открытом множестве
Формулировка: Множество X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто
Доказательство:
Необходимость: - замкнуто
Выберем (.)xÎX. Тогда, по определению, xÏ и x не является предельной точкой множества X. Значит, существует такая окрестность N (.)x, что NÇ=, NX, а значит, x-внутренняя точка множества X. Значит, множество X – открыто.
Достаточность: Пусть множество X – открыто и x – предельная точка , тогда каждая окрестность (.)x содержит некоторую точку из , которая не совпадает с самой точкой x. Это означает, что x не является внутренней точкой множества X и следовательно множество замкнуто.
4) Теорема об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств
Формулировка:
4-1. Для любого семейства {Ga} открытых множеств G множество, которое является объединением всех Ga будет открытым
4-2. Для любого семейства {Fa} замкнутых множеств R, множество Ç всех Fa будет замкнутым
4-3. Для любого конечного семейства {G1,G2,…,Gn} Ç всех этих открытых множеств будет открытым
4-4. Для любого конечного семейства множеств {F1,F2,…,Fn} объединение всех этих множеств будет замкнутым
Доказательство:
4-1. Обозначим G= и пусть (.) xÎ G. Это означает, что xÎGa для какого-то индекса a. Поскольку множество Ga - открытое, значит (.)x –внутренняя точка множества Ga. (.)x будет внутренней точкой множества G и значит, G – открыто.
4-2. ()=
По предыдущему доказательству, множества - открытые
Значит, - открыто
4-3. Пусть H=. Для любой (.)x из множества H существует окрестность Ni радиуса ri такая, что эта окрестность Î некоторому множеству Gi xÎH NiGi
Выберем из всех этих ri минимальный min ri=r и пусть окрестность N – окрестность (.)x радиуса r. Тогда NÎGi. А раз NGi, то NH
4.4. ()=
5) Принцип Архимеда
Формулировка: Каково бы ни было действительное число a, существует такое натуральное число n, что n>a
b=sup N <+ (1)
Поскольку b-1<b, то в силу определения верхней грани найдется такое натуральное число n, что n>b-1, т.е.
n+1>b, но n+1 – также натуральное число: n+1ÎN, поэтому неравенство (n+1>b) противоречит условию (1)
6) Теорема Коши-Кантора
Формулировка: Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы, причем x=sup{an}=inf{bn}
Доказательство: если точки xÎ[an,bn], Î[an,bn], n=1,2,…,
то ясно, что для всех номеров n выполняются неравенства
|-x|<=bn-an, а следовательно, в силу условия (1) для любого e>0 справедливо неравенство
|-x|<e.
Поскольку e>0 – произвольное число, то возможно только тогда, когда e=. Это означает, что существует единственное число x, принадлежащее всем отрезкам [an,bn]
an<=x<=bn, n=1,2,….
Из этих неравенств видно, что число x ограничивает сверху числа an и снизу числа bn, поэтому, если a=sup{an}, b=inf{bn}, то в силу определения верхней и нижней граней будут выполняться неравенства
an<=a<=x<=b<=bn, n=1,2,…
Таким образом, числа a,b и x принадлежат всем отрезкам [an,bn], а следовательно, они равны, и будет выполняться условие x=sup{an}=inf{bn}
7) Теорема о сходящихся последовательностях
Формулировка: Пусть {pn} – последовательность в метрическом пространстве X
7.1. {pn} p, когда каждая окрестность (.)p содержит все члены последовательности pn за исключением конечного числа членов последовательности
7.2. Если pÎX, p`ÎX` и последовательность pnp, pnp`, то p=p`
7.3. Если последовательность pn сходится, то она ограничена
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.