Доказательства теорем: Теорема Кантора, теорема о предельной точке, об открытом множестве, об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств

Страницы работы

Содержание работы

Доказательства теорем:

1) Теорема Кантора

Формулировка: Множество действительных чисел несчетно

Доказательство: Если бы множество всех действительных чисел было счетным, то т.к. любое бесконечное подмножество счетного множества счётно, то и любое его подмножество, в частности, любой отрезок, что противоречит тому, что любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.

2) Теорема о предельной точке

Формулировка: Если (.)p – это предельная точка X, то любая окрестность (.)p содержит бесконечно много точек множества X

Доказательство: предположим, что существует такая окрестность (.)p, которая содержит конечное число точек множества X.

q1,q2,…,qn –  это точки множества NÇX

qi¹p, i=1,2,…,n

Рассмотрим расстояние от (.)p до всех точек qi и выберем минимальное.

r=min r(p,qi)>0

Построим окрестность радиуса r с центром в точке p. Nr(p)=B(p,r). Построим окрестность (.)p радиуса q. Эта окрестность не содержит ни одной точки из X.

qÎX, q¹p

По определению, (.)p не может быть предельной точкой X. Противоречие.

3) Теорема об открытом множестве

Формулировка: Множество X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто

Доказательство:

Необходимость:  - замкнуто

Выберем (.)xÎX. Тогда, по определению, xÏ и x не является предельной точкой множества X. Значит, существует такая окрестность N (.)x, что NÇ=, NX, а значит, x-внутренняя точка множества X. Значит, множество X – открыто.

Достаточность:  Пусть множество X – открыто и x – предельная точка , тогда каждая окрестность (.)x содержит некоторую точку из , которая не совпадает с самой точкой x. Это означает, что x не является внутренней точкой множества X и следовательно множество  замкнуто.

4) Теорема об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств

Формулировка:

4-1. Для любого семейства {Ga} открытых множеств G множество, которое является объединением всех Ga будет открытым

4-2. Для любого семейства {Fa} замкнутых множеств R, множество Ç всех Fa будет замкнутым

4-3. Для любого конечного семейства {G1,G2,…,Gn} Ç всех этих открытых множеств будет открытым

4-4. Для любого конечного семейства множеств {F1,F2,…,Fn} объединение всех этих множеств будет замкнутым

Доказательство:

4-1. Обозначим G= и пусть (.) xÎ G. Это означает, что xÎGa для какого-то индекса a. Поскольку множество Ga - открытое, значит (.)x –внутренняя точка множества Ga. (.)x будет внутренней точкой множества G и значит, G – открыто.

4-2. ()=

По предыдущему доказательству, множества  - открытые

Значит,  - открыто

4-3. Пусть H=. Для любой (.)x из множества H существует окрестность Ni радиуса ri такая, что эта окрестность Î некоторому множеству Gi   xÎH      NiGi

Выберем из всех этих ri минимальный min ri=r и пусть окрестность N – окрестность (.)x радиуса r. Тогда NÎGi. А раз NGi, то NH

4.4. ()=

5) Принцип Архимеда

Формулировка: Каково бы ни было действительное число a, существует такое натуральное число n, что n>a

Доказательство: если бы утверждение теоремы не имело места, то нашлось бы такое число a, что для всех натуральных чисел n выполнялось бы неравенство n<=a, т.е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда, согласно тому, что всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, у множества N существовала бы конечная верхняя грань:

b=sup N <+ (1)

Поскольку b-1<b, то в силу определения верхней грани найдется такое натуральное число n, что n>b-1, т.е.

n+1>b, но n+1 – также натуральное число: n+1ÎN, поэтому неравенство (n+1>b) противоречит условию (1)

6) Теорема Коши-Кантора

Формулировка: Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы, причем x=sup{an}=inf{bn}

Доказательство: если точки xÎ[an,bn], Î[an,bn], n=1,2,…,

то ясно, что для всех номеров n выполняются неравенства

|-x|<=bn-an, а следовательно, в силу условия (1) для любого e>0 справедливо неравенство

|-x|<e.

Поскольку e>0 – произвольное число, то возможно только тогда, когда e=. Это означает, что существует единственное число x, принадлежащее всем отрезкам [an,bn]

an<=x<=bn,   n=1,2,….

Из этих неравенств видно, что число x ограничивает сверху числа an и снизу числа bn, поэтому, если a=sup{an}, b=inf{bn}, то в силу определения верхней и нижней граней будут выполняться неравенства

an<=a<=x<=b<=bn,   n=1,2,…

Таким образом, числа a,b и x принадлежат всем отрезкам [an,bn], а следовательно, они равны, и будет выполняться условие x=sup{an}=inf{bn}

7) Теорема о сходящихся последовательностях

Формулировка: Пусть {pn} – последовательность в метрическом пространстве X

7.1. {pn} p, когда каждая окрестность (.)p содержит все члены последовательности pn за исключением конечного числа членов последовательности

7.2. Если pÎX, p`ÎX` и последовательность pnp, pnp`, то p=p`

7.3. Если последовательность pn сходится, то она ограничена

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
166 Kb
Скачали:
0