Определение. Пусть - это (бес-) конечный промежуток вещественной оси . Функция называется первообразной для функции на множестве , если справедливо соотношение .
1) Если функция является первообразной для функции , то функция непрерывна на промежутке .
2) Пусть функция является первообразной для функции . Для того, что функция тоже была первообразной для функции () необходимо и достаточно, чтобы .
3) Если функция является первообразной для , то любая функция вида тоже является первообразной для .
Определение. Вся совокупность первообразных функции называется ее неопределенным интегралом: .
Свойства неопределенного интеграла:
1) Операция дифференцирования и операция нахождения неопределенного интеграла являются взаимообратными: .
2) Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: .
3) Если и интегрируема, то .
4) , если существуют оба интеграла правой части.
5) Если функция является интегрируемой и имеет первообразную , то .
Теорема. Пусть функция определена на промежутке , а функция - на . Пусть эти функции таковы, что образ промежутка является подмножеством промежутка . И пусть функция дифференцируема на промежутке , а функция интегрируема на . Тогда справедливо: .
Доказательство. Т.к. имеет место, и , то определена всюду на . Т.к. является первообразной для , то по определению получаем, что она определена на , а также дифференцируема на нем. Тогда сложная функция определена всюду на и является дифференцируемой на этом промежутке, как суперпозиция двух дифференцируемых функций. Найдем производную .
Теорема. Пусть функции определены и дифференцируемы на промежутке и пусть существует , тогда существует .
Доказательство. Т.к. определены и дифференцируемы на по определению, то их произведение также определено и дифференцируемо на . Получаем, что . Интегрируя это соотношение, получаем, что . Т.к. по свойству , получаем . Оба слагаемых в правой части существуют, следовательно, существует и соотношение из левой части.
Определение. Дробно-рациональной функцией называется функция, являющаяся отношением двух полиномов.
- вещественные корни; - несуществующие вещественные корни.
Основная теорема алгебры. Любой полином -ой степени имеет ровно корней (возможно комплексных) с учетом кратности. При этом, если все коэффициенты полинома вещественны, то его комплексные корни будут образовывать сопряженные пары.
Определение. Величины называются кратностями корней полинома.
Теорема. Если знаменатель функции представляется в виде , то функция может быть представлена в виде .
Следствие. В силу линейности интеграла имеет место формула
1)
2)
- формула понижения степени.
Замечание. В результате интегрирования любой дробно-рациональной функции получается выражение, в которое входи три типа функций: дробно-рациональные, логарифмы, арктангенсы. Причем за присутствие в результате интегрирования в конечном выражении логарифмов и арктангенсов отвечают дроби вида: .
Определение. Говорят, что логарифмы и арктангенсы, образованные в результате интегрирования дробно-рациональной функции, вместе взятые, образуют трансцендентную часть, а все прочие функции – рациональную.
Форму, лежащая в основе метода Остроградского, имеет следующий вид , где - рациональная часть интеграла, - трансцендентная.
Краткий алгоритм метода:
1) найти ;
2) с помощью алгоритма Евклида: ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) Записать с неопределенными коэффициентами.
7) Найти все неопределенные коэффициенты из .
1)
· ;
· ;
· .
2)
· ;
· .
3)
· ;
· ;
· .
Замечание. Если радикал присутствует в числителе дроби, то обычно пользуются тригонометрическими подстановками, если в знаменателе – гиперболическими.
Любой интеграл от рационально-тригонометрической и рационально-гиперболической функции может быть сведен к интегралу дробно-рациональной функции с помощью двух следующих универсальных подстановок:
1) ;
2) .
Если же:
1) ;
2) ;
3) .
Подстановки Эйлера
Пусть - дробно-рациональная функция. Пусть коэффициенты - не полный квадрат: . Если , то воспользуемся заменой .
1ая подстановка.
2ая подстановка.
3я подстановка. Если имеет два вещественных корня.
Выражение под радикалом должно быть больше нуля.
Интеграл от дифференциального бинома (биноминального дифференциала)
Определение. Дифференциальный бином – это бином вида , причем из них хотя бы один не целый.
Теорема Эйлера-Чебышева. Интеграл от дифференциального бинома может быть сведен к интегралу от дробно-рациональной функции в трех и только трех случаях:
1) ;
2) ;
3) .
Замечание. Во всех случаях, когда , знак «-» будем считать отнесенным к числителю.
Доказательство.
1)
· - бином Ньютона. ;
· . Если , то выражение сводится к дробно-рациональному. Если , то интеграл сводится к дробно-рациональному заменой: .
2) :
3)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.