Интегральное исчисление функций от одной переменной

I.Интегральное исчисление функций от одной переменной

Определение. Пусть  - это (бес-) конечный промежуток вещественной оси . Функция  называется  первообразной для функции  на множестве , если справедливо соотношение .

Свойства первообразной:

1)  Если функция  является первообразной для функции , то функция  непрерывна на промежутке .

2)  Пусть функция  является первообразной для функции . Для того, что функция  тоже была первообразной для функции  () необходимо и достаточно, чтобы .

3)  Если функция  является первообразной для , то любая функция вида  тоже является первообразной для .

Определение. Вся совокупность первообразных функции называется ее неопределенным интегралом: .

Свойства неопределенного интеграла:

1)  Операция дифференцирования и операция нахождения неопределенного интеграла являются взаимообратными: .

2)  Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: .

3)  Если  и  интегрируема, то .

4)  , если существуют оба интеграла правой части.

5)  Если функция  является интегрируемой и имеет первообразную , то .

Интегрирование методом замены переменных и по частям

Теорема. Пусть функция  определена на промежутке , а функция  - на . Пусть эти функции таковы, что образ промежутка  является подмножеством промежутка . И пусть функция  дифференцируема на промежутке , а функция  интегрируема на . Тогда справедливо: .

Доказательство. Т.к. имеет место,  и , то  определена всюду на . Т.к.  является первообразной для , то по определению получаем, что она определена на , а также дифференцируема на нем. Тогда сложная функция  определена всюду на  и является дифференцируемой на этом промежутке, как суперпозиция двух дифференцируемых функций. Найдем производную .

Теорема. Пусть функции  определены и дифференцируемы на промежутке  и пусть существует , тогда существует .

Доказательство. Т.к.  определены и дифференцируемы на  по определению, то их произведение  также определено и дифференцируемо на . Получаем, что . Интегрируя это соотношение, получаем, что . Т.к. по свойству , получаем . Оба слагаемых в правой части существуют, следовательно, существует и соотношение из левой части.

Интегрирование дробно-рациональной функции

Определение. Дробно-рациональной функцией называется функция, являющаяся отношением двух полиномов.

 - вещественные корни;  - несуществующие вещественные корни.

Основная теорема алгебры. Любой полином -ой степени имеет ровно  корней (возможно комплексных) с учетом кратности. При этом, если все коэффициенты полинома вещественны, то его комплексные корни будут образовывать сопряженные пары.

Определение. Величины  называются кратностями корней полинома.

Теорема. Если знаменатель функции  представляется в виде , то функция может быть представлена в виде .

Следствие. В силу линейности интеграла имеет место формула

1) 

2) 

 - формула понижения степени.

Замечание. В результате интегрирования любой дробно-рациональной функции получается выражение, в которое входи три типа функций: дробно-рациональные, логарифмы, арктангенсы. Причем за присутствие в результате интегрирования в конечном выражении логарифмов и арктангенсов отвечают дроби вида: .

Определение. Говорят, что логарифмы и арктангенсы, образованные в результате интегрирования дробно-рациональной функции, вместе взятые, образуют трансцендентную часть, а все прочие функции – рациональную.

Метод Остроградского

Форму, лежащая в основе метода Остроградского, имеет следующий вид , где  - рациональная часть интеграла,  - трансцендентная.

Краткий алгоритм метода:

1)  найти ;

2)  с помощью алгоритма Евклида: ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  Записать  с неопределенными коэффициентами.

7)  Найти все неопределенные коэффициенты из .

Тригонометрические и гиперболические подстановки

1) 

·  ;

·  ;

·  .

2) 

·  ;

·  .

3) 

·  ;

·  ;

·  .

Замечание. Если радикал  присутствует в числителе дроби, то обычно пользуются тригонометрическими подстановками, если в знаменателе – гиперболическими.

Интегрирование рациональных тригонометрических и рациональных гиперболических функций

Любой интеграл от рационально-тригонометрической и рационально-гиперболической функции может быть сведен к интегралу дробно-рациональной функции с помощью двух следующих универсальных подстановок:

1)  ;

2)  .

Если же:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Подстановки Эйлера

Пусть  - дробно-рациональная функция. Пусть коэффициенты  - не полный квадрат: . Если , то воспользуемся заменой .

1ая подстановка.

2ая подстановка.

3я подстановка. Если  имеет два вещественных корня.

Выражение под радикалом должно быть больше нуля.

Интеграл от дифференциального бинома (биноминального дифференциала)

Определение. Дифференциальный бином – это бином вида , причем из них хотя бы один не целый.

Теорема Эйлера-Чебышева. Интеграл от дифференциального бинома может быть сведен к интегралу от дробно-рациональной функции в трех и только трех случаях:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Замечание. Во всех случаях, когда , знак «-» будем считать отнесенным к числителю.

Доказательство.

1) 

·   - бином Ньютона. ;

·  . Если , то выражение сводится к дробно-рациональному. Если , то интеграл сводится к дробно-рациональному заменой: .

2)  :

3)