Кратные несобственные интегралы Ильин т.2, с.297
1.1 Основные определения
Пусть – открытое множество -мерного евклидова пространства , а – его замыкание. Последовательность открытых множеств монотонно исчерпывает множество , если:
1) множество содержится в ;
2) объединение всех множеств совпадает с множеством .
Пусть на открытом множестве задана функция , интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируемом подмножестве множества . Будем рассматривать всевозможные последовательности открытых множеств, монотонно исчерпывающих и обладающих тем свойством, что замыкание каждого множества кубируемо (а значит, ограничено). Если для любой такой последовательности существует предел числовой последовательности и этот предел не зависит от выбора последовательности то этот предел называется несобственным интегралом от функции по множеству и обозначается одним из следующих символов:
, ,
Несобственный интеграл называется сходящимся.
Замечание: Символ используется и в случае, когда пределы указанных выше последовательностей не существуют. В этом случае интеграл называется расходящимся.
1.2 Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Теорема 1. Для сходимости несобственного интеграла от знакопостоянной в области функции , необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности кубируемых областей , монотонно исчерпывающих область , была ограниченной числовая последовательность .
Теорема 2 (Общий признак сравнения). Пусть неотрицательные функции и всюду в открытом множестве G удовлетворяют условию . Тогда из сходимости несобственного интеграла вытекает сходимость несобственного интеграла .
1.2 Несобственные интегралы от знакопеременных функций
Теорема. Для несобственных кратных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны, т.е. из абсолютной сходимости следует обычная сходимость, а из обычной абсолютная.
Кратные интегралы, зависящие от параметра
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра
Пусть – произвольная точка области -мерного евклидова пространства , а – точка области пространства . Обозначим символом подмножество -мерного евклидова пространства, состоящее из всех точек таких, что точка , а точка .
Пусть – функция, определенна в , причем функция интегрируема по в области . Тогда функцию
,
определенную в области , называют интегралом, зависящим от параметра .
Теорема 1 (о непрерывности интеграла по параметру). Если функция непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области , то интеграл – непрерывная функция параметра в области .
Теорема 2 (об интегрировании интеграла по параметру). Если функция непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области , то интеграл можно интегрировать по параметру под знаком интеграла, т.е. справедливо равенство
.
Теорема 3 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Если функция и ее частная производная непрерывны по совокупности аргументов в замкнутой области , то интеграл имеет в области непрерывную частную производную, причем справедливо равенство
. !!!!!!! G, x
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.