Кратные несобственные интегралы. Основные определения. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Кратные несобственные интегралы Ильин т.2, с.297

1.1 Основные определения

Пусть  – открытое множество -мерного евклидова пространства , а  – его замыкание. Последовательность  открытых множеств монотонно исчерпывает множество , если:

1)  множество  содержится в ;

2) объединение всех множеств  совпадает с множеством .

Пусть на открытом множестве  задана функция  , интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируемом подмножестве множества . Будем рассматривать всевозможные последовательности  открытых множеств, монотонно исчерпывающих  и обладающих тем свойством, что замыкание  каждого множества  кубируемо (а значит, ограничено). Если для любой такой последовательности  существует предел числовой последовательности  и этот предел не зависит от выбора последовательности  то этот предел называется несобственным интегралом от функции  по множеству  и обозначается одним из следующих символов:

              ,       ,                                  

Несобственный интеграл называется сходящимся.

Замечание: Символ используется и в случае, когда пределы указанных выше последовательностей не существуют. В этом случае интеграл называется расходящимся.

1.2 Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Теорема 1. Для сходимости несобственного интеграла от знакопостоянной в области  функции , необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности кубируемых областей , монотонно исчерпывающих область , была ограниченной числовая последовательность .

Теорема 2 (Общий признак сравнения). Пусть неотрицательные функции  и  всюду в открытом множестве G удовлетворяют условию . Тогда из сходимости несобственного интеграла  вытекает сходимость несобственного интеграла .

1.2 Несобственные интегралы от знакопеременных функций

Теорема. Для несобственных кратных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны, т.е. из абсолютной сходимости следует обычная сходимость, а из обычной абсолютная.

Кратные интегралы, зависящие от параметра

1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра

Пусть  – произвольная точка области  -мерного евклидова пространства , а  – точка области  пространства . Обозначим символом  подмножество -мерного евклидова пространства, состоящее из всех точек  таких, что точка , а точка .

Пусть – функция, определенна в , причем  функция  интегрируема по  в области . Тогда функцию

,                                       

определенную в области , называют  интегралом, зависящим от параметра .

Теорема 1 (о непрерывности интеграла по параметру). Если функция  непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области , то интеграл – непрерывная функция параметра  в области .

Теорема 2 (об интегрировании интеграла по параметру). Если функция  непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области , то интеграл можно интегрировать по параметру под знаком интеграла, т.е. справедливо равенство

.          

Теорема 3 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Если функция  и ее частная производная  непрерывны по совокупности аргументов в замкнутой области , то интеграл имеет в области  непрерывную частную производную, причем справедливо равенство

. !!!!!!! G, x