Доказательства теорем: Теорема Кантора, теорема о предельной точке, об открытом множестве, об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств, страница 2

{p_n}ÎX

7.4. Если EX и если p – предельная точка подмножества E, то существует последовательность {p_n}ÎE такая, что p=

Доказательство:

7.1.

Пусть p_np     U-окрестность точки p

Для некоторого e>0 r(p,q)<e, qÎU , будет существовать N_e такой, что n>=N_e: r(p_n,p)<e

Таким образом, для всех n>=N_e: p_nÎU(p,e)

Это означает, что все точки последовательности, кроме первых N Î e-окрестности (.)p

7.2. Допустим, что каждая окрестность (.)p содержит все (.) последовательности, кроме конечного их числа. Зафиксируем e>0 и пусть Q- это множество всех точек q из X, UX таких, что r(q,p)<e

По определению должен существовать некоторый номер N_e, который соответствует окрестности U такой, что все точки с номерами p_nÎU, n>=N_e, причем этот номер соответствует именно этой окрестности U

e>0  N_e: >=N_e: r(p_n,p)<e - определение сходимости

e>0  N,N`

n>=N: r(p_n,p)<e/2

n>=N`:r(p<sub>n</sub>,p`)<e/2

n>=max (N,N`)

r(p,p`)<=r(p<sub>n</sub>,p)+r(p<sub>n</sub>,p`)<e

r(p`,p)=0

7.3. Пусть p_np  e>0   N_e: n>=N_e: r(p_n,p)<e

Рассмотрим N_e: r(p_n,p)<1

n>=N: r₁=r(p₁,p),  r(p₂,p)=r₂,….,r(p_n,p)=r_n

r=max r_i      n=1,2,..

r(p_n,p)<=r

n  p_nÎE   r(p_n,p)<1/n

Для некоторого e>0 выберем номер N следующим образом:  N*e>1, тогда,  если n>n: r(p_n,p)<e

8) Теорема Вейерштрасса об ограниченной последовательности

Формулировка: 8.1 Пусть {a_n} – неубывающая и ограниченная сверху последовательность. Тогда {a_n} сходится и =sup{a_n}

8.2 Невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет предел, равный inf{a_n}

Доказательство:

8.1. Так как {a_n} ограничена сверху, то существует sup{a­_n}. Пусть l=sup{a_n}. Покажем, что =l.

Другими словами, требуется доказать, что a_n=a_n-l есть бесконечно малая последовательность, т.е. что для любого e>0 существует номер n₀=n₀(e) такой, что для всех n>n₀ имеем  |a_n|<e. Но sup{a_n}=0. Это значит, что:

1)  a_n<=0 для любого nÎN

2)  для любого e>0 найдется число k такое, что -e<a_k<=0. Но a_k не убывает, поэтому при всех n>k имеем: -e<a_k<=a_n<=0,   |a_n|<=|a_k|<e

Таким образом,  в качестве n₀=n₀(e) можно взять указанное выше число k

8.2. Вместо {a_n} рассмотрим последовательность {b_n},  b_n=-a_n. Тогда inf{a_n}=-sup{b_n} и теорема 8.2 следует из теоремы 8.1

9) Теорема Больцано - Вейерштрасса

Формулировка: из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство: по условию имеем, что найдется c>0 такое, что |a_n|<=c для всех n. Разделим отрезок I₀=[-с,c] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Назовем его I₁ и в качестве первого члена в искомой последовательности возьмем какой-либо элемент a_n1ÎI₁, т.е положим b₁=a_n1. Затем отрезок I₁ снова разобьем на два и обозначим через I₂ ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности {a_n}. Среди них выберем такой член a_n2, номер которого n₂ превосходит число n₁, и положим b₂=a_n2. Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку I_2, получим отрезок I₃I₂ и член b₃=a_n3 с условием n₃>n_2. Далее таким же образом найдем b₄=a_n4ÎI₄I₃, b₅=a_n5ÎI₅I₄ и т.д. В результате мы получим числовую последовательность {b_k} и последовательность вложенных отрезков {I_k}, причем b_kÎI_k, b_k=a_nk, n_k<n_k+1 при всех kÎN. Другими словами, {b_k} будет подпоследовательностью для {a_k}.

Осталось показать, что {b_k} сходится.  Для этого заметим, что длина d_k отрезка I_k равна c*2^-k+1, откуда d_k0 при k. Это значит, что все последовательность вложенных отрезков {I_k} стягивается и все отрезки I_k имеют единственную общую точку l.  Именно это число l и будет пределом для {b_k}. Действительно, если I_k=[s_k,t_k], то s_k<=l<=t_k, t_k-s_k=d_k, a_k=l-s_k<=d_k, b_k=t_k-l<=d_k. Но так как d_k0  при k, то a_k0 и b_k0, откуда s_k=l+a_kl, t_k=l+b_kl. И так как b_k=a_nk, s_k<=a_nk<=t_k, то b_k=a_nkl при k, что и требовалось доказать.

10) Теорема Коши

Формулировка: Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

Доказательство: Пусть {p_n} сходится

=a

Зададим некоторый e>0, тогда по определению предела последовательности существует такой номер N, что "n>N выполняется неравенство: r(p_n,a)<e/2

Пусть n>N, m>N

r(p_n,p_m)<=r(p_n,a)+r(a,p_m)

Достаточность: если выполняется условие Коши

"e>0 $N: "n, m>N

r(p_n,p_m)<e

Выберем e=1, тогда найдется n₁, что "n>n₁: r(p_n,p_n-1)<1  n>n₁,  m=n₁+1

-1+p_n1<p_n<1+p_n1

|p_n1-p_n|<1

Получается, что для всех n>n₁ {p_n} будет ограничена и значит мы можем выделить сходящуюся подпоследовательность {p_nk}  {p_nk}a при k

=a

Покажем, что последовательность {p_n} тоже сходится к пределу a. Выберем некоторое e>0, тогда по определению $ такой номер n_m " n_k>n_m: r(p_nk,a)<e/2

$ N: "n,m: r(p_n,p_m)<e/2

N_e = max{n_m,N}

r(p_n,a)<=r(p_nk,a)+r(p_n,p_nk)<e