Интеграл Римана (Определенный интеграл)
Основные определения. Интегральные суммы
Определение. Пусть. Разбиением называется такое множество.
Определение. Любой отрезок вида называется подотрезком разбиения.
Определение. - длина -ого подотрезка разбиения.
Определение. Мелкостью разбиения называется минимальная из всех длин подотрезков этого разбиения. Т.к. множество подотрезков конечно, то эта величина всегда имеет смысл, а т.к. среди нет совпадающих, то величина всегда больше нуля.
Определение..
Определение. Нижней интегральной суммой Дарбу называет выражение. Верхней интегральной суммой называют.
Следствие..
Определение. На каждом выберем, а совокупность всех этих точек обозначим. Назовем ее выборкой и составим интегральную сумму Дарбу:.
Следствие..
Определение. Говорят, что разбиение вписано в разбиение (), если множество точек, образующих, содержит в себе множество точек, образующих.
Замечания:
1) ;
2) .
Свойства интегральных сумм
1) Если функция ограничена на, то при любом выборе верхняя и нижняя интегральные суммы существуют. Это следует из того, что в силу ограниченности функции ее инфимум и супремум каждого из подотрезков будут выражаться конечными числами, а, следовательно, все слагаемые в интегральных суммах имеют смысл.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) Теорема о среднем., где называют средним значением функции на отрезке.
8) .
Интеграл Римана, как функция верхнего предела
Теорема..
Доказательство. Пусть. Чтобы показать, покажем. Для этого. Т.к., то ограничена на. Рассмотрим.
Теорема. Если, то является дифференцируемой в точке, причем.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.
Доказательство. - Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Пусть выполняются 3 условия:
1) ;
2) ;
3) ,
то.
Доказательство. Поскольку, т.к.. Покажем равенство интегралов:,
т.к..
Теорема об интегрировании по частям. Пусть функции, тогда имеет место формула:.
.
Некоторые интегральные неравенства:
1) ;
2) ;
3) Неравенство Коши-Буняковского.;
4) Неравенство Геллера.;
5) Неравенство Минковского..
Длина кривой..
Объем тела с известным сечением..
Объем тела вращения..
Интеграл Римана (Определенный интеграл)
Основные определения. Интегральные суммы
Определение. Пусть. Разбиением называется такое множество.
Определение. Любой отрезок вида называется подотрезком разбиения.
Определение. - длина -ого подотрезка разбиения.
Определение. Мелкостью разбиения называется минимальная из всех длин подотрезков этого разбиения. Т.к. множество подотрезков конечно, то эта величина всегда имеет смысл, а т.к. среди нет совпадающих, то величина всегда больше нуля.
Определение..
Определение. Нижней интегральной суммой Дарбу называет выражение. Верхней интегральной суммой называют.
Следствие..
Определение. На каждом выберем, а совокупность всех этих точек обозначим. Назовем ее выборкой и составим интегральную сумму Дарбу:.
Следствие..
Определение. Говорят, что разбиение вписано в разбиение (), если множество точек, образующих, содержит в себе множество точек, образующих.
Замечания:
3) ;
4) .
Свойства интегральных сумм
2) Если функция ограничена на, то при любом выборе верхняя и нижняя интегральные суммы существуют. Это следует из того, что в силу ограниченности функции ее инфимум и супремум каждого из подотрезков будут выражаться конечными числами, а, следовательно, все слагаемые в интегральных суммах имеют смысл.
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) Теорема о среднем., где называют средним значением функции на отрезке.
16) .
Интеграл Римана, как функция верхнего предела
Теорема..
Доказательство. Пусть. Чтобы показать, покажем. Для этого. Т.к., то ограничена на. Рассмотрим.
Теорема. Если, то является дифференцируемой в точке, причем.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.
Доказательство. - Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Пусть выполняются 3 условия:
4) ;
5) ;
6) ,
то.
Доказательство. Поскольку, т.к.. Покажем равенство интегралов:,
т.к..
Теорема об интегрировании по частям. Пусть функции, тогда имеет место формула:.
.
Некоторые интегральные неравенства:
6) ;
7) ;
8) Неравенство Коши-Буняковского.;
9) Неравенство Геллера.;
10) Неравенство Минковского..
Длина кривой..
Объем тела с известным сечением..
Объем тела вращения..
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.