Интеграл Римана (Определенный интеграл)

Интеграл Римана (Определенный интеграл)

Основные определения. Интегральные суммы

Определение. Пусть. Разбиением  называется такое множество.

Определение. Любой отрезок вида  называется подотрезком разбиения.

Определение. - длина -ого подотрезка разбиения.

Определение. Мелкостью разбиения  называется минимальная из всех длин подотрезков этого разбиения. Т.к. множество подотрезков конечно, то эта величина всегда имеет смысл, а т.к. среди  нет совпадающих, то величина всегда больше нуля.

Определение..

Определение. Нижней интегральной суммой Дарбу называет выражение. Верхней интегральной суммой называют.

Следствие..

Определение. На каждом  выберем, а совокупность всех этих точек обозначим. Назовем ее выборкой и составим интегральную сумму Дарбу:.

Следствие..

Определение. Говорят, что разбиение  вписано в разбиение  (), если множество точек, образующих, содержит в себе множество точек, образующих.

Замечания:

1)  ;

2)  .

Свойства интегральных сумм

1)  Если функция  ограничена на, то при любом выборе  верхняя и нижняя интегральные суммы существуют. Это следует из того, что в силу ограниченности функции ее инфимум и супремум каждого из подотрезков будут выражаться конечными числами, а, следовательно, все слагаемые в интегральных суммах имеют смысл.

Свойства интеграла Римана

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  Теорема о среднем., где  называют средним значением функции на отрезке.

8)  .

Интеграл Римана, как функция верхнего предела

Теорема..

Доказательство. Пусть. Чтобы показать, покажем. Для этого. Т.к., то  ограничена на. Рассмотрим.

Теорема. Если, то  является дифференцируемой в точке, причем.

Основная формула интегрального исчисления

Теорема. Любая непрерывная на отрезке функция  имеет на этом отрезке первообразную.

Доказательство. - Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление интегралов Римана методом подстановки и по частям

Теорема. Пусть выполняются 3 условия:

1)  ;

2)  ;

3)  ,

то.

Доказательство. Поскольку, т.к.. Покажем равенство интегралов:,

т.к..

Теорема об интегрировании по частям. Пусть функции, тогда имеет место формула:.

Доказательство. Т.к., то справедливо:

.

Некоторые интегральные неравенства:

1)  ;

2)  ;

3)  Неравенство Коши-Буняковского.;

4)  Неравенство Геллера.;

5)  Неравенство Минковского..

Длина кривой..

Объем тела с известным сечением..

Объем тела вращения..

Интеграл Римана (Определенный интеграл)

Основные определения. Интегральные суммы

Определение. Пусть. Разбиением  называется такое множество.

Определение. Любой отрезок вида  называется подотрезком разбиения.

Определение. - длина -ого подотрезка разбиения.

Определение. Мелкостью разбиения  называется минимальная из всех длин подотрезков этого разбиения. Т.к. множество подотрезков конечно, то эта величина всегда имеет смысл, а т.к. среди  нет совпадающих, то величина всегда больше нуля.

Определение..

Определение. Нижней интегральной суммой Дарбу называет выражение. Верхней интегральной суммой называют.

Следствие..

Определение. На каждом  выберем, а совокупность всех этих точек обозначим. Назовем ее выборкой и составим интегральную сумму Дарбу:.

Следствие..

Определение. Говорят, что разбиение  вписано в разбиение  (), если множество точек, образующих, содержит в себе множество точек, образующих.

Замечания:

3)  ;

4)  .

Свойства интегральных сумм

2)  Если функция  ограничена на, то при любом выборе  верхняя и нижняя интегральные суммы существуют. Это следует из того, что в силу ограниченности функции ее инфимум и супремум каждого из подотрезков будут выражаться конечными числами, а, следовательно, все слагаемые в интегральных суммах имеют смысл.

Свойства интеграла Римана

9)  ;

10)  ;

11)  ;

12)  ;

13)  ;

14)  ;

15)  Теорема о среднем., где  называют средним значением функции на отрезке.

16)  .

Интеграл Римана, как функция верхнего предела

Теорема..

Доказательство. Пусть. Чтобы показать, покажем. Для этого. Т.к., то  ограничена на. Рассмотрим.

Теорема. Если, то  является дифференцируемой в точке, причем.

Основная формула интегрального исчисления

Теорема. Любая непрерывная на отрезке функция  имеет на этом отрезке первообразную.

Доказательство. - Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление интегралов Римана методом подстановки и по частям

Теорема. Пусть выполняются 3 условия:

4)  ;

5)  ;

6)  ,

то.

Доказательство. Поскольку, т.к.. Покажем равенство интегралов:,

т.к..

Теорема об интегрировании по частям. Пусть функции, тогда имеет место формула:.

Доказательство. Т.к., то справедливо:

.

Некоторые интегральные неравенства:

6)  ;

7)  ;

8)  Неравенство Коши-Буняковского.;

9)  Неравенство Геллера.;

10)  Неравенство Минковского..

Длина кривой..

Объем тела с известным сечением..

Объем тела вращения..