Вопросы по курсу «Математический анализ». Часть II (Неопределенный интеграл. Интеграл Римана. Несобственные интегралы. Функциональные ряды. Функции многих переменных. Интегралы, зависящие от параметра)

Вопросы по курсу «Математический анализ» 

Часть II

I. Неопределенный интеграл

Определение, свойства, общие приемы интегрирования. Интегрирование рациональных, иррациональных и трансцедентных функций.

II. Интеграл Римана (определенный интеграл)

Основные определения: интегральная сумма, последовательность разбиений, предел интегральной суммы. Множество интегрируемых функций, их свойства, необходимое и достаточное условия интегрируемости. Теорема о среднем. Определенный интеграл и первообразная функция. Интегрирование заменой переменной и по частям. Формула Тейлора с остаточным числом в интегральной форме. Приложения интеграла: площадь криволинейной трапеции, длина дуги, объем тел вращения, площадь поверхности вращения.

III. Несобственные интегралы

Определение несобственного интеграла с бесконечным пределом. Сходимость, свойства несобственных интегралов с бесконечным пределом, признаки сходимости (признак Коши). Определения абсолютной и условной сходимости. Признаки Абеля и Дирихле. Определение несобственного интеграла от бесконечной функции. Сходимость, условия существования несобственного интеграла. Признак Коши сходимости несобственного интеграла от бесконечной функции. Свойства несобственных интегралов от бесконечной функции, теорема о среднем. Интегрирование по частям и замена переменных в несобственных интегралах.

V. Функциональные ряды

Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши. Признаки  равномерной сходимости рядов: Вейерштрасса, Дирихле, Абеля. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность сумм функционального ряда, почленное интегрирование и почленное дифференцирование. Степенные ряды. Радиус сходимости. Лемма Абеля. Теорема Коши-Адамара. Равномерная сходимость. Свойства суммы степенного ряда. Ряд Тейлора.

VI. Функции многих переменных

Метрические и линейные пространства R­­^m. Предел функции в точке, непрерывность в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность отображения. Глобальные свойства непрерывных функций.

Производная по направлению, частные производные, их свойства. Дифференцируемость функции, определение, необходимое и достаточное условия дифференцируемости, свойства дифференцируемых функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремумы функций многих переменных. Определение, теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума. Геометрические образы, связанные с функциями многих переменных: касательная плоскость, нормальный вектор, касательный вектор. Теорема о неявной функции (лемма 1, лемма 2). Теорема об обратной функции, приложения теоремы о неявной функции (полярные и сферические координаты).

Зависимость функций (определение, лемма 1, лемма 2). Поверхность в Rⁿ и теория условного экстремума. Определение. Гладкий диффеоморфизм, касательное пространство. Лемма о касательном пространстве. Необходимый признак существования условного экстремума. Функция Лагранжа. Достаточный признак существования условного экстремума.

VII. Интегралы, зависящие от параметра

Определение. Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла, теорема об интеграле, как непрерывной функции от параметра. Теорема о дифференцируемости под знаком интеграла. Теорема об интегрировании под знаком интеграла. Теорема о дифференцируемости интеграла с изменяющимися пределами (т.5 и т.6) . Равномерная сходимость интеграла, зависящего от параметра (признаки сходимости). Необходимое и достаточное условия равномерной сходимости. Теоремы 1-4 для несобственных интегралов, зависящих от параметра. Эйлеровы интегралы. Определение, свойства. Главное значение несобственных интегралов.