Вопросы по курсу «Математический анализ» (Теория множеств. Метрические пространства. Верхняя и нижняя грань множества. Числовые последовательности. Числовые ряды. Функция. Производная и дифференциал)

Вопросы по курсу «Математический анализ»

1.  Теория множеств. Функции, отображения. Счетные и бесконечные множества. Мощность множества, несчетные множества. Теорема Кантора.

2.  Метрические пространства. Открытые, замкнутые множества, предельные точки, ограниченные множества, всюду плотные множества, внутренние точки. Теорема о предельной точке. Теорема об открытом множестве. Теорема об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств. Открытое покрытие. Компакт.

3.  Верхняя и нижняя грань множества. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков. Теорема Коши-Кантора. Теорема Вейерштрасса.

4.  Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности, расходящиеся последовательности, конечные и бесконечные. Теорема о сходящихся последовательностях. Подпоследовательности, частичные пределы. Ограниченность последовательности. Монотонные последовательности, фундаментальные последовательности. Теорема Вейерштрасса об ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Теорема Коши. Бесконечно малые последовательности, бесконечно большие последовательности. Свойства пределов последовательности.

5.  Числовые ряды. Частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Основные теоремы. Положительные ряды. Гармонический ряд. Теорема сравнения. Признаки Коши  и Даламбера. Знакопеременный ряд. Теорема Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

6.  Функция. Предел функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел, теорема о сохранении знака, теорема о предельном переходе  в неравенстве, теорема о пределе промежуточной переменной. Односторонние пределы, бесконечные пределы. Основные приемы вычисления пределов (I, II замечательные пределы). Непрерывность функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Отношение порядка. Эквивалентность функции, абсолютная и относительная погрешность.  Приемы вычисления пределов. Точки разрыва функции (I и II-го рода). Монотонные функции. Теорема о возрастании на множестве X функции. Точки разрыва монотонной функции на интервале. Критерий Коши. Функции, непрерывные на множестве. Теорема Вейерштрасса. Теорема Больцано-Коши. Следствия. Обратные функции. Лемма о строго монотонной функции. Теорема об обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Следствия. Геометрическая интерпретация.

7.  Производная и дифференциал. Односторонние производные. Дифференцирование функции. Теорема о дифференцировании функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Геометрическая интерпретация производной. Правила вычисления производных. Производные от обратных функций, сложных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о среднем. Теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши. Правило Лопеталя. Признак монотонности функции. Теорема о необходимом условии существования экстремума, о достаточном условии существования экстремума. Точки перегиба, выпуклые функции. Достаточное условие выпуклости, необходимое условие существования точек перегиба, достаточное условие существования точек перегиба. Асимптоты. Алгоритм исследования функции.