Методы планирования эксперимента, страница 7

III.1.8. Процесс выделения существенных переменных прекращают, когда на очередной диаграмме рассеяния все вклады Вх_i оказываются приблизительно одинаково  малыми по абсолютной величине.

III.1.9. Рассчитывают уравнение регрессии:

у = b₀ + b₁х₁ +…+ b_hx_h + E,

где       х_1…x_h - выделенные наиболее существенные факторы,

            Е - “шумовое поле”.

 

2.2.  Планы второго порядка (квадратичные планы).

Если полином первой степени не дает адекватного исследуемому процессу математического описания, то степень полинома повышают и переходят к полиному второй степени (квадратичная модель). Для получения квадратичных моделей используют планы второго порядка. 

Квадратичные  планы называют центральными композиционными, так как они строятся из трех блоков и включают (1) соответствующий числу факторов (k) план первого порядка, а именно, точки ПФП или ДФП, число которых N_ф=2^k; (2) план типа креста, дающий “звездные” точки, число которых N_α=2k; (3) нулевые  (центральные) точки N₀. Общее число N точек  ЦКП определяется формулой:

N=N_ф+N_α+N₀=2^k+2k+N_0,

 

где k-число факторов.

При построении квадратичных планов используют различные критерии оптимальности  планирования: (1) ортогональные и (2) ротатабельные.

2.2.1. Центральный ортогональный композиционный план (ОЦКП)

В случае ОЦКП критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов МП (матрицы планирования). В силу ортогональности планирования все коэффициенты уравнения регрессии  оцениваются независимо друг от друга, причем факторы с незначимыми  коэффициентами можно  сразу отбрасывать, без пересчета  оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо при не ортогональных планах.

X2

Схема опытов ОЦКП для двух  факторов показана на рисунке.

                                                 

´

                                                 

a

´

                                                      Рисунок    Схема ОЦКП для двух факторов:

  - точки ПФП;

O

´

X1

´ - звездные точки;

○ - центральная точка.

                                                                      a  - звездное плечо

		Х

 

В таблице приведены количества точек (N) в МП ОЦКП для числа факторов

k = 2, 3, и 4.

Таблица

k	a	Nα=2k	N0	Nф=2k	N
2	1,0	4	1	4	9
3	1,215	6	1	8	15
4	1,414	8	1	16	25

При ортогональном планировании (ОЦКП) коэффициенты регрессии оцениваются с разными ошибками и, следовательно, точность предсказания выходной величины у в различных направлениях факторного пространства неодинакова. Одинаковую точность предсказания отклика во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра планирования дает ротатабельное планирование.

2.2.2. Ротатабельный центральный композиционный план (РЦКП)

РЦКП – это такой план, у которого обратная ковариационная матрица (Х^ТХ)^-1    инвариантна к ортогональному вращению координат, иными словами, при повороте координат коэффициенты регрессии оцениваются с одинаковыми ошибками, а значит и точность предсказания отклика одинакова во всех направлениях. Это достигается путем увеличения числа опытов в центре плана (N₀)  и звездного плеча a (таблица).

Таблица

k	a	Nα=2k	N0	Nф=2k	N
2	1,414	4	5	4	13
3	1,682	6	6	8	20
4	2,000	8	7	16	31