Статистическая проверка непараметрических гипотез

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Курс лекций по дисциплине «ТВиМС»

Лекция №7                    (лекция №16 в общем потоке)

8. Статистическая проверка непараметрических гипотез

2 часа

Л.16. Основные понятия. Критерии согласия и однородности. Критерий согласия Пирсона (c2) и Колмогорова (l). Методические указания к применению критериев согласия. Примеры обработки результатов эксперимента.

2 часа

План:

·  Предисловие;

·  Постановка задачи проверки непараметрических гипотез;

·  Критерий «согласия» Пирсона (c2);

·  Критерий «согласия» А.Н. Колмогорова;

·  Послесловие.

Предисловие

На прошлой лекции рассмотрели основные понятия и идею проверки статистических гипотез и рассмотрели технологию проверки 4-х типов параметрических гипотез (относительно значения МО СВ, имеющей нормальное распределение с известным и неизвестным СКО, а также о равенстве МО двух СВ, имеющих нормальные законы распределения). На сегодняшней лекции займёмся проверкой непараметрических гипотез.

Постановка задачи проверки непараметрических гипотез

Следует напомнить, что статистическая гипотеза называется непараметрической, если в ней сформулировано предложение относительно вида функции распределения исследуемой СВ, т.е. Ho: Fx(x)=F*(x).

Напомню также, что СВ полностью с вероятностной точки зрения характеризуются законами распределения. Если известен закон распределения СВ, то можно определить вероятности любых событий, связанных с данной СВ, определить точные значения числовых характеристик и т.п. К сожалению, часто на практике нельзя однозначно определить закон распределения исследуемой величины. Поэтому поступают следующим образом. Сначала на основании предметной постановки задачи и / или визуального анализа статистического закона распределения выдвигают предположение (гипотезу) о виде закона распределения, затем статистическими методами проверяют согласование данной гипотезы с экспериментальными данными.

Проверка гипотезы о предполагаемом распределении производится с помощью непараметрических статистических критериев значимости (вспомогательных СВ, которые имеют заранее известное распределение при условии верности гипотезы Ho).

Как обычно (для проверки параметрических), если выборочное значение статистического критерия значимости будет принадлежать области маловероятных критических значений (ÎОКЗ), то гипотеза HoFx(x)=F*(x) должна быть отклонена, как не согласующаяся с экспериментальными данными. Если же ÎОДЗ, то гипотеза Ho согласуется с экспериментальными данными, следовательно, оснований для её отклонений нет.

Следует отметить, что, как правило, альтернативной гипотезой является сложная гипотеза HaFx(xF*(x), поэтому распределение статистического критерия в случае верности Ha однозначно не известно, следовательно, при исследовании гипотезы не контролируется вероятность совершения ошибки 2-го рода, т.е. принятия ложной гипотезы. Поэтому вывода о принятии гипотезы вовсе не делают.

Непараметрические критерии значимости условно делят на две группы. Это критерии «согласия» с помощью которых проверяются гипотезы относительно общего вида функции распределения (Пирсона, Колмогорова); и критерии «однородности», с помощью которых проверяются гипотезы о равенстве функций распределения двух СВ (или что тоже самое – о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности) (Вилкоксона).

Критерий «согласия» Пирсона (c2)

Критерий  «согласия» Пирсона (c2) позволяет проводить проверку согласия эмпирического и гипотетического (предполагаемого) законов распределения. Для этого

1.1. Строится статистический закон распределения x (для ДСВ – сгруппированный; для НСВ – интервальный).

1.2. На основании предметной постановки задачи или визуального анализа статистического закона распределения выдвигается гипотеза о виде функции распределения СВ x. Т.е. HoFx(x)=F*(x); HaFx(xF*(x).

1.3. Оцениваются числовые характеристики СВ x и параметры гипотетической функции распределения F*(x).

2. Для проверки гипотезы о виде функции распределения СВ x используется статистический критерий значимости

,                                                        (*)

который (в случае верности Ho) независимо от вида гипотетического распределения F*(x) имеет распределение c2 с n=kr–1 степенями свободы. Здесь mi – количество значений СВ x, попавших в i-ю группу (интервал); k – количество групп (интервалов) статистического закона распределения; pi – вероятность попадания значений СВ x в i-ю группу (интервал) при условии Fx(x)=F*(x); n – объём выборки значений СВ x; r – количество параметров, определяющих функцию F*(x).

3. Попадание значений СВ x в i-ю группу (интервал) есть испытания Бернулли. Следовательно, величина mi (число попаданий в n испытаниях) имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и pi. Следовательно, M[mi]=npi.

Т.о. в формуле (*) вычисляется отклонение фактической частоты попадания значений СВ x в i-ю группу (интервал) mi от среднего значения np, ожидаемого при условии верности гипотезы HoFx(x)=F*(x). Если гипотеза Ho верна, то данные отклонения незначительны, и критерий значимости c2 принимает малые значения. Если же Ho не верна, то отклонения фактических и ожидаемых частот будут значительны, а c2®¥. Таким образом, ОКЗ статистического критерия c2 (см. рисунок) является правосторонней.

Для заданного уровня значимости a определяется величина ОКЗ из условия . Значение , – есть квантиль распределения c2 с n=kr–1 степенями свободы уровня a (определяется по таблицам).

4. Рассчитывается выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если HoFx(x)=F*(x) верна, то  и значит . Если же , т.е. происходит практически невозможное событие, то с большой вероятностью (1–a) можно утверждать, что Ho не верна.

Т.о. если , то гипотеза Ho считается согласующейся с результатами опытов и оснований для отклонения гипотезы нет. Если , то гипотеза Ho не согласуется с экспериментальными данными, следовательно она отклоняется, и с вероятностью (1–a) можно утверждать, что верна H. При отклонении гипотезы можно, однако совершить ошибку 1-го рода, но вероятность такой ошибки равна a»0.

Критерий «согласия» Колмогорова А.Н.

Похожие материалы

Информация о работе