Статистическая проверка непараметрических гипотез, страница 3

1.3. Оцениваются параметры гипотетической функции распределения F^*(x).

2. Для проверки гипотезы о виде функции распределения СВ x используется статистический критерий значимости

,                                               (*)

который (в случае верности H_o) независимо от вида гипотетического распределения F^*(x) имеет распределение c² с n=k–r–1 степенями свободы.

	Здесь mi – количество значений СВ x, попавших в i-ю группу (интервал); k – количество групп (интервалов) статистического закона распределения; pi – вероятность попадания значений СВ x в i-ю группу при условии Fx(x)=F*(x); n – объём выборки значений СВ x; r – число параметров функции F*(x).

 

Т.о. в (*) вычисляются отклонения фактических частот попадания значений СВ x в i-ю группу (интервал) mi от средних значений npi , ожидаемых при условии верности гипотезы Ho: Fx(x)=F*(x). Если гипотеза Ho верна, то "i (mi–npi)®0 Þ c2®0. Если Ho не верна, то "i (mi–npi)® ¥ Þ Þ c2®¥. Т.о. ОКЗ статистического критерия c2 является правосторонней. Величина ОКЗ определяется

3. Попадание значений СВ x в i-ю группу (интервал) – испытания Бернулли. Следовательно, СВ m_i (число успехов в n испытаниях) имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p_i ; M[m_i]=np_i.

из условия: , где a – уровень значимости;  –квантиль распределения c² с n=k–r–1 степенями свободы уровня a (по табл.).

4. Рассчитывается выборочное значение критерия  .

5. Если H_o: F_x(x)=F^*(x) верна, то  Þ . Если же , т.е. происходит практически невозможное событие, то с большой вероятностью (1–a) можно утверждать, что H_o не верна.

Т.о. если , то гипотеза H_o считается согласующейся с результатами опытов и оснований для отклонения гипотезы нет. Если , то гипотеза H_o не согласуется с экспериментальными данными, следовательно она отклоняется, и с вероятностью (1–a) можно утверждать, что верна H_a .

Критерий «согласия» Колмогорова А.Н. (l)

Критерий «согласия» Колмогорова применяется для проверки гипотез о виде функции распределения непрерывных СВ, когда параметры F^*(x) точно известны.

Используемый критерий значимости   ,                (**)

где , F^*(x) – значения эмпирической и гипотетической функции распределения, соответственно; n – объём выборки.

Например, если  имеет вид, представленный на графике «а»; и предполагается показательное распределение СВ x, т.е. F^*(x) имеет вид, представленный на графике «б», то отклонения выбираются следующим образом.

В случае справедливости гипотезы Ho , при n®¥, критерий l имеет функцию: , которая не зависит от F*(x).

Если наблюдаемое значение <l_крит , то гипотеза H_o согласуется с результатами опытов и оснований для отклонения гипотезы нет. Если >l_крит , то гипотеза H_o не согласуется с экспериментальными данными; она отклоняется, и с вероятностью (1–a) можно утверждать, что верна H_a .