Электрические фильтры. Классификация. Условия пропускания и задерживания цепочечных схем. Полиномиальные фильтры LC. Виды аппроксимации, применяемые при синтезе фильтров. Электрическая линия, как четырехполюсник. Затухание передачи полного и неполных четырехполюсников

8. Ур-ия чет-ка с У-пар-ами. Физич. смысл пар-ов. Связь между пар-ами в случаях симметричн. и обратимости.Схемы замещения

17. Электрические фильтры. Классификация. Простейшие частотные электрические фильтры. Условия пропускания и задерживания цепочечных схем.

26. Полиномиальные фильтры LC. Виды аппроксимации, применяемые при синтезе фильтров.

35. Электрическая линия, как четырехполюсник. Уравнения линии, как четырехполюсника.

Обозначим

и перепишем уравнения четырехполюсника, решенные относительно токов, в виде:

где Y₁₁ - входная проводимость четырехполюсника, измеренная на входе при закороченном выходе;

Y ₂₂ - входная проводимость, измеренная на выходе при закороченном входе;

Y₁₂ и Y ₂₁ - проводимости передачи, измеренные при закороченных входах.

Для обратимого 4-хполюсника Y₁₂=Y₂₁. Входные проводимости короткого замыкания Y₁₁ и Y₂₂ симметричного четырехполюсника равны.

У обратимого симметричного четырехполюсника независимы два параметра: входная проводимость и проводимость передачи. Остальные находятся из условий: Y₁₂=Y₂₁, Y₁₁=Y₂₂.

 - называют матрицей проводимостей короткого замыкания четырехполюсника.

В устройствах автоматики, телемеханики и связи часто возникает задача выделения полезных сигналов из смеси различных сигналов и помех. Если  полезные сигналы и помехи различаются занимаемыми частотными полосами, то такое разделение осуществляют частотными электрическими фильтрами. Частотные фильтры, отделяющие элек­трические колебания токов с одними частотами от колебаний с дру­гими частотами, применяют в самых разнообразных частотных диапазо­нах. Простейшими фильтрами могут служить цепи rCили реактивные двухполюсники. Однако наиболее распространены фильтры, представляющие собой четырехполюсники, составленные из реактивных двухполюсников по цепочечным или мостовым схемам. Эти фильтры отличаются от про­стейших фильтрующих цепей более качественными частотными харак­теристиками. По сравнению с используемыми в качестве фильтров цепя­ми rС они имеют в полосе пропускания теоретически нулевое, а прак­тически весьма малое затухание. От активных фильтров rС их выгодно отличает возможность работы при больших токах, например, в цепях тяговых сетей и рельсовых цепях. В то же время фильтры LCимеют и недостатки: невысокую добротность элементов (особенно катушек индуктивности) и значительные габаритные размеры, что затрудняет их использование на сверхнизких и высоких частотах.

Учет влияния сопротивления нагрузки фильтра требует полного анализа его свойств как четырехполюсника. Последнее может быть осуществлено использованием любого полного набора параметров че­тырехполюсника.

Для анализа и синтеза реактивных фильтров наиболее удобно ис­пользовать собственные параметры передачи g и Z_x. Цепочечные фильтры представляют собой каскадное соединение Г-, Т- или П-образных четырехполюсников, содержащих реактивные сопротивления.

 Это выражение справедливо для Т- и П-образных четырехполюс­ников Для Г-образного  полузвена постоянная передачи в 2 раза меньше. Из определения электрического фильтра следует, что его затухание в полосе пропускания должно быть минимальным (теоретически рав­няться нулю), а в полосе задерживания зависеть от частоты (быть максимальным). С учетом этого условия пропускания и задерживания цепочечных фильтров можно получить, анализируя зависимость по­стоянной передачи цепочечных схем от параметров схемы в широ­ком диапазоне частот. Напомним, что собственная постоянная передачи g= а + jbоп­ределяет затухание и фазовый сдвиг четырехполюсника в условиях согласованной  нагрузки   (Z_n = Z_x).   Проанализируем   выражение(1.1)

При чисто реактивном характере сопротивлений Z_xи Z₂ возможны два варианта их соотношений.

Вариант 1. Величины Z₁и Z₂ — реактивные сопротивления одного знака, в этом случае положительное вещественное число, не зависящее от частоты.

Тогда из равенства (1.1) получим два уравнения:

;  =0      (1.2)

Так как не может быть равным нулю, то из уравнений (1.2) следует что, при этом , а  (1.3)

Таким образом,  четырехполюсники, сопротивления Z₁и Z₂ которых имеют одинаковые реактивные знаки во всем диапизоне частот не могут быть фильтрами, поскольку их затухание является постоянной не зависящей от частоты величиной.Это обычные делители напряжения.

Вариант  2. Величины Z₁и Z₂ - реактивные сопротивления различных знаков, тогда

-мнимое число, не зависящее от частоты. В этом случае равенство (1.1) распадается на два уравнения: (1.4)

Система уравнений (1.4) допускает два решения

Первое решение:(1.5)

Второе решение: Здесь возможны два режима: режим пропускания, соответствую­щий первому решению, когда затухание а = 0, и режим задерживания, соответствующий второму решению, когда а ≠0. Следовательно, че­тырехполюсник цепочечной схемы, образованный из реактивных со­противлений Z₁и Z₂ разных знаков, является электрическим фильтром.

Виды аппроксимации. Функция передачи ФНЧ в общем случае может быть представлена в виде  (1.1) Чем выше порядок фильтра n, тем больше элементов в его схеме и более резко осуществляется переход от полосы пропускания к полосе задерживания. Однако ни одна реальная схема, содержащая  конечное число элементов, не может дать желательной хар-ки. И таким образом встает задача приближения указанной зависимости к функции вида (1.1) - задача аппроксимации.  При расчете фильтров в завис-ти от конкретных требований, предъявляемых к нему со стороны системы, эл-ом кот. он яв­ляется, примен. несколько видов приближения фун-ии передачи фильтра к идеальной. Виды аппроксимации: максимально плоская, равноволновая, обратная чебышевская, эллиптическая. Максимально плоская аппроксимация (Баттерворта). При использова-нии максимально плоской аппроксимации модуль функции передачи фильтра аппроксимируется монотонной кри­вой в полосах пропускания и задерживания. Для определения модуля фун-ии передачи фильтра следует ис­ключить из рассмот-рения фазочастотную хар-ку. Это можно осуществить, перейдя к формуле (1.1) к квадрату модуля фун-ии передачи и учитывая, что p_н=jΏ:   |F =F(jΏ)F(jΏ)=(1.2) Из выражения (1.2) следует, что при Q < 1 младшие степени вно­сят большой вклад в его знаменатель, и, следовательно, приводят к существенному уменьшению коэффициента передачи фильтра. Поэтому для того чтобы фун-ия передачи была максимально плоской на частотах, меньших частоты среза, необходима зависимость фун-ии |F (Ώ)| только от старшей степени Ώ.  Равноволновая аппроксимация (Чебышева). Эту аппроксимацию осуществляют на основе использования полиномов Чебышева. Ап­проксимирующая фун-ия в полосе пропускания фильтра имеет коле­бательный хар-р с равными отклонениями от заданной фун-ии и монотонный в области задерживания, что опред. св-ми полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева имеют вид: Функция Т_n (х) колеблется в пределах ±1 в интервале |х| < 1 и монотонно возрастает при |х| > 1. алгебраическая форма полиномов Чебышева: -1)+ Вид полиномов Чебышева первых четырех порядков:

Полиномы Чебышева из всех многочленов степени n наименее ук­лоняются от нуля на отрезке - 1 <х< 1, что является важной их особенностью. Таким образом, фильтры Чебышева характеризуются двумя пара­метрами - порядком и допустимой неравномерностью затухания в полосе пропускания. Обратная чебышевская аппроксимация. Этот вид аппроксимации характеризуется монотонностью аппроксимирующей фун-ии в поло­се пропускания и колебательным характером в области задерживания. Квадрат модуля функции передачи при этом имеет вид: (1.6) Фун-ия передачи монотонна в полосе пропускания фильтра (т. е. при  < 1), если аргумент многочлена Т_n (х) больше единицы. Фильтры, модуль фун-ии передачи которых определяется выра­жением (1.6), называют обратными (инверсными) фильт­рами Чебышева. Фун-ия передачи таких фильтров колеблется в об­ласти задерживания с амплитудой F = Таким образом, использование полиномов Чебышева дает воз­можность получить равноволновое приближение аппроксимирующей функции к заданной в полосе пропускания или в области задержива­ния фильтра. Эллиптическая аппроксимация. Она позволяет добиться равноволнового хар-ра приближения аппроксимирующей функции к за­данной в полосе пропускания и вобласти задерживания фильтра, для чего используют эллиптические функции Якоби. Выбор того или иного вида аппроксимирующей  функции  зависит от конкретных   требований, предъявляемых к фильтру со стороны системы, элементом которой он  является. У фильтров Баттерворта  меньшая, чем у фильтров Чебышева или эллиптических фильтров того же порядка, крутизна нарастания затухания в области задержива­ния, однако они имеют максимально плоскую характеристику в поло­се пропускания. В тех случаях, когда можно допустить некоторую не­равномерность затухания в полосе пропускания за счет увеличения крутизны нарастания затухания в переходной области, предпочтитель­ны фильтры Чебышева или же эллиптические, обладающие лучшими свойствами, чем чебышевские, однако более сложные в реализации. Если необходимо обеспечить значительную крутизну нарастания зату­хания в переходной области и плоскую хар-ку в полосе про­пускания фильтра, то используют обратные фильтры Чебышева.

Параметры линии как четырехполюсника.Любую пассивную ли­нейную электрическую цепь с постоянными пар-ами и четырьмя зажимами, используемую для передачи электрической энергии в каче­стве промежуточного звена, можно рассматривать как четырехполюс­ник. К числу таких цепей относят однородную уединенную электричес­кую линию. Уравнения линии как четырехполюсника должны связывать че­тыре величины: U(0), I (0), U(l) и I (l). Для их получения вернемся к выражениям : ;  I(0)=;

Преобразуем выражения , подставив в них значение = (Z_H — Z_K)/ (Z_H+ Z_K) и заменяя U (l)/Z_nна I(l). Имея в виду, что ; /(1+η)=; Получим:  U(0)=U(l)+ U(l)/(1+η)= U(l)ch+I(l)

I(0)= Здесь величина  представляет coбoй отраженную, а величина U(l) падающую волны напряжения на выходе линии.

Обозначим   U (0) = U₀; I(0) = I₀; U_l(l) = U_l ; I(l)=I_l.  и сопоставим уравнения электрической линии и четырехполюсника: U(0)=U_lch 

U₁=AU₂+BI₂;  I₁=CU₂;  Из сопоставления этих уравнений следует, что матрица пар-ров ли­нии

Линия как четырехполюсник симметрична, так как A = D. Совершенно очевидно, что уравнения линии можно представить все­ми формами уравнений четырехполюсника. Матрица проводимостей  линии

а матрица сопротивлений 

Таким образом, однородную ли­нию, рассматриваемую как симмет­ричный четырехполюсник, можно характеризовать двумя независи­мыми комплексными коэфф-­ами, задаваемыми различными способами: первичными пар-ами Z_л, Y_л, волновыми или вторичными пар-ами Z_в и l, третич­ными пар-ами A, В, С, а также матрицами проводимостей и сопротивлений. Линию как систему передачи сигналов наиболее удобно характери­зовать волновыми параметрами: волновым сопротивлением Z_в и коэффи­циентом распространения l. Волновое сопр-ние показ., как следует подобрать сопр-ния генератора и при­емника, чтобы в линии отсутствовали отраженные волны. Коэф-­ент распространения волны l указ. на потери и фазовый сдвиг, возникающие при пробеге волны вдоль линии. Величины lи Z_B впол­не хар-уют передающие св-ва линии при согласованной на­грузке. В общем случае, рассматривая линию как четырехполюсник, усло­вия передачи энергии от генератора к приемнику  можно хар-ать входным сопр-нием, сопро­тивлением передачи или приведенным сопр-нием.

;

Это выражение верно при активныхR_н и комплексных Zн сопротивлениях нагрузки.

В частныхслучаях приR_н (короткое замыкание) и R_н= ∞ (холостой ход) получим:

  Сопротивление передачи  и  приведенное сопротивление линии:

)sh  При Rг=Rн=R   Zприв=; Можно видеть, что наличие отраженных волн в линии в большей степени влияет на величину Z_nep. и в меньшей — на  так как в последнем в числителе стоит ².Использование понятий Z_nep и Z_npив облегчает решение многих за­дач при определении напряжений и токов в линиях.