Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Силовые линии электрического поля. Работа и энергия в электростатическом поле. Механические силы в электростатическом поле. Диполь во внешнем поле, страница 6

, т.е. при переходе заряженной поверхности заряженной поверхности нормальная компонента вектора Е испытывает скачок, а тангенсальная не меняется, т.е. при переходе заряженной поверхности силовые линии преломляются.  - это коэффициент преломления для силовых линий.

9.Поле заряженного по объему шара

(рис. 1) Возьмем некоторую точку О₁ и проведем ось. Выберем бесконечно малый объем dq'=ρdV', ρ=const, этот объем создает поле dE', V→dV', V→dV'', dq''=ρdV'', если dV'= dV'', то  dq'= dq'' и dE'= dE''. Эти вектора в сумме дают dE=2dEcosα. Вектор dE направлен вдоль оси ОО₁, т.е. перпендикулярно поверхности шара. Ввиду того, что каждому dq' всегда найдется заряд dq'' в любой точке пространства вектор Е будет перпендикулярен поверхности шара, т.е. будет иметь только радиальные компоненты. Если взять различные точки О₁ как вне, так и внутри шара, то можно считать, то все эти точки совершенно эквивалентны и ни одна из них ничем не выделена среди остальных и можно считать, что поле зависит только от расстояния между точками ОО₁. E=E(r), φ=φ(r), тогда E и φ являются функциями одной переменной. Поле обладает сферической симметрией.

Будем определять E и φ для разных областей (рис. 2). Поля различны в разных областях для r>R, r<R.

Для r≥R запишем теорему Остроградского-Гаусса. ƐƐ₀E4πR²=q, Ɛ – диэлектрическая проницаемость среды вокруг шара, а q – точечный заряд шара. E=q/ ƐƐ₀E4πr².

Для r≤R, в роли q – заряд, охватывающий поверхность. E=q'/Ɛ₁Ɛ₀E4πr², q=4πR³ρ/3, q'=4πR³ρ/3, q'/q=r³/R³, q'=qr³/R³, т.о. поле внутри шара определяется следующим равенством. E=qr/4πƐ₁Ɛ₀R³.

Вычислим потенциал φ(r) для областей.

Для r≥R: φ₂=0*φ₁+∫E(r)dr. В данном случае φ₁ можем положить любой величиной. Но наиболее удобен тот случай, когда φ₁=0, тогда потенциал на бесконечном удалении от шара равен 0.

φ₂=0+q/4πƐƐ₀∫dr/r²=0 Если φ=0 при r=r₁=∞, то φ(r)=q/4πƐƐ₀r

Шар, равномерно заряженный по объему (рис. 3). φ(R)=q/4πƐƐ₀R,q'=qr³/R³.r≤R₁,E=qr/4πƐ₁Ɛ₀R³ . Если r=0, то φ(0)=q/4πƐ₀R(1/Ɛ+1/2Ɛ₁). В точке r=R (на границе раздела сред) напряжение терпит разрыв, потенциал терпит излом, т.к. напряжение и потенциал связаны дифференциальным соотношением. В случае, если шар заряжен неоднородно, то его можно разбить на тонкие однообразные слои, объем каждого из слоев будет V=4πr²dr, плотность постоянна, заряд слоя dq=ρ(r)4πr²dr, заряд шара q=4π∫ρ(x)x²dx. Если шар проводящий, то напряжение внутри равно нулю, т.к. весь заряд сосредоточен на поверхности.                                         

10.Поле бесконечного, заряженного по объему цилиндра

Проведем луч ОО₁, перпендикулярно оси симметрии (рис. 1,2). Вектор Е направлен перпендикулярно оси симметрии и имеет только радиальную компоненту. Эта компонента зависит только от расстояния между осью и точкой наблюдения.

E≡E(r), т.к. смещая точку О₁ относительно оси при постоянном r мы получим точки, которые будут эквивалентны друг другу. Поэтому поле будет иметь осевую симметрию φ≡φ(r).

Опишем вокруг части цилиндра замкнутую поверхность. На боковой поверхности вектор Е‖dS_б, ЕdS_б= ЕdS_б, DdS= DdS_. На торцевой поверхности Е перпендикулярен dS, ЕdS=0, DdS=0, т.к. поверхность конечна, то Е=const. ∫dSdS=∫DdS , q=τl, D=const. ∫DdS = τl

Для r≤R: E=τ'/2πƐ₁Ɛ₀r, τ'l=ρπr²l, τl=ρπr²l, τ'=τr²/R², E= τr/2πƐ₁Ɛ₀R².

Дляr≥R: Меняя r₀, φ может обратиться в нуль. Если система имеет хоть одну координату на ∞, то потенциал не может быть равен нулю.

11.Электростатическое поле диполя

Диполем мы называем систему электрических зарядов, одинаковых по величине и противоположных по знаку, находящихся на расстоянии l₀ друг от друга (рис. 1). Заряды мы будем считать точечными, т.е. их размеры значительно меньше l₀. На малых расстояниях от диполя, сравнимых с l₀, поле будет наложением полей этих двух зарядов. Мы будем рассматривать поле на больших расстояниях. При этих условиях можно приближенно считать вектора r_-, r, r₊ параллельными друг другу и можно приближенно написать: r_- = r+ l₀cosθ/2,        r₊ = r -  l₀cosθ/2.

Потенциал в точке О₁φ=φ_-+φ₊=q(1/r₊-1/r_-)/4πƐƐ₀. φ=q(r_—r₊)/4πƐƐ₀r_-r₊=ql₀cosθ/4πƐƐ₀(r² – l²cos²θ/4).