Пусть некоторый заряженный проводник несет заряд q и имеет потенциал поверхности φ (рис.1). Для того чтобы увеличить заряд q на dq, необходимо перенести заряд dq на поверхность заряженного тела из бесконечности. При этом необходимо совершить работу: dA=φdq. Эта работа переходит в энергию заряженного тела. dA=dW=φdq, φ=q/C, dW=qdq/C, W=∫qdq/C=q2/2C. Т.о. энергия заряженного тела W=q2/2C=Cφ2/2=φ/2q.
Рассмотрим два тела. Если только первое тело заряженное: W11=φ11q1/2. Если заряжено второе тело: W22=φ22q2/2. Если заряжено оба тела: возникает энергия взаимодействия. Эта энергия равна заряду первого тела в поле, которое создает второе тело. W12=q1φ12, (рис. 2). Общая энергия этой системы: W=W11+W22+Wвз. Для того, чтобы написать Wвз в удобной форме запишем ее в следующем виде: Wвз=q1(φ11+ φ12)/2+ q2(φ21+ φ22)/2. Тогда полная энергия системы будет: W=1/2∑qiφi, где φi=∑ φik. W=1/2∑∑qiφik. Энергия потенциальна, т.е. поле потенциально.
Объемная плотность энергии. Рассмотрим плоский конденсатор с площадью пластины S, расстоянием между пластинами h и диэлектриком Ɛ (рис. 3).
, ω –
объемная плотность энергии. Поле равномерно – энергия распределена равномерно.
. Если
считать, что поле неоднородно, то E≡E(x, y,
z), ω≡ω(x, y,
z).
Выделим малый объем dV: dW= ω(x, y, z)dV, W=∫ ω(x, y, z)dV.
Вычислим плотность энергии, окружающей сферический заряд радиусом R (рис. 4).
, где
С – емкость уединенного шара.
Пусть в диэлектрике создается поле Е, тогда плотность энергии в этом диэлектрике: ω=ƐƐ0Е2/2. Если при таком же поле диэлектрик будет отсутствовать, то ω0=Ɛ0Е2/2. Энергия, связанная только с поляризацией диэлектрика записывается разностью ωn= ω - ω0=1/2Ɛ0(Ɛ-1).
20.Механические силы в электростатическом поле. Диполь во внешнем поле
Два тела в пространстве взаимосвязаны друг с другом (рис. 1). Между этими телами существует поле и они подвержены действию сил. Если осуществить перемещение тел, то будет совершаться механическая работа. Помимо этого будет меняться взаимная емкость и изменятся их заряды. В общем случае тел может быть несколько, и для системы таких тел можно записать следующее соотношение. ∑Fkdxk+dWk=∑φkdqk (1). При каких-то изменениях совершается механическая работа, которая выражается перемещением в направлении этих сил. dW – изменение энергии системы, φk – потенциалы тел, dqk – изменение зарядов тел. Равенство (1) – закон сохранения энергии для такой системы.
Рассмотрим два случая.
1.Пусть заряды тел остаются неизменными (рис. 2). dqk=0. ∑Fkdxk= - dW, W – функция координат, dW=dW(x1 x2 x3), W≡W(x1 x2 x3), ∑Fkdxk= - ∑∂W/∂xk. Для этого случая механическая работа совершается за счет энергии поля.
2. φk=const, потенциалы всех тел фиксированы, а заряды могут меняться.
В
этом случае работа по перемещению заряда совершается источником, задающим
потенциал. dW=∑∂W/∂xk, Fk=∂W/∂xk.
Примеры:
1.Плоский конденсатор (рис. 3). C=ƐƐ0S/h.
а) Пластины друг от друга изолированы: q=const, σ=const. Разность потенциалов будет зависеть от h. W=q2/2C=q2h/2ƐƐ0S, Fh=- ∂W/∂h= - q2/2 ƐƐ0S=const.
б) (рис. 4) Δφ=const. W= ƐƐ0S(Δφ)2/2h, Fh=∂W/∂h= - ƐƐ0S(Δφ)2/2 h2. В этом случае пластины притягиваются, однако, зависимость силы от h другая.
2.Пластины плоского конденсатора опущены в непроводящую жидкость, которая при подаче напряжения поднимается между пластинами вследствие поляризации жидкости (рис. 5). V=lhx – объем поднявшейся жидкости, Ɛ0(Ɛ – 1) – вектор поляризации. W=E2 Ɛ0(Ɛ – 1)V/2, Fx= - ∂W/∂x= - E2 Ɛ0(Ɛ – 1)lh/2, E2 Ɛ0(Ɛ – 1)lh/2=mg. Этот метод позволяет измерить диэлектрическую проницаемость среды.
Диполь во внешнем поле. Пусть диполь с зарядами +q и –q находится во внешнем поле(рис.6).
Если поле однородно, то на него действует только вращающийся момент. gradE=0.
Fϴ= - ∂W/∂ϴ=pE∂cos ϴ/∂ϴ= - pEsinϴ≡M.
Рассмотрим объем диэлектрика dV, который обладает некоторым диполем. dp=PdV= Ɛ0(Ɛ – 1)EdV, dF=dpcosϴgradE, dF=cosϴ Ɛ0(Ɛ – 1)EEdV, dF= cosϴ Ɛ0(Ɛ – 1)gradE2dV, dF= Ɛ0(Ɛ – 1)dV gradE2
Объем поляризации диэлектрика: dW= - dpE, гдеdp – дипольный момент, dp=pdV, dW= - pEdV=(ƐƐ0E - Ɛ0E)EdV= Ɛ0(Ɛ – 1)EEdV= Ɛ0(Ɛ – 1)E2dV, F= Ɛ0(Ɛ – 1)dVgradE2.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.