Ортогональные системы кусочно-постоянных функций

6.7. Ортогональные системы кусочно-постоянных функций

Кусочно-постоянной называют функцию, сохраняющую неизменное значение на заданном множестве интервалов. Формально ее можно определить как

На рис. 6.12 приведен график кусочно-постоянной функции для  и функции , из которой она получена путем запоминания (сохранения) значения  в пределах промежутка .

Таким образом, множество чисел  и  полностью определяет функцию .

Обычно моменты времени  (моменты дискретизации временной шкалы) берутся через одинаковые промежутки времени  (интервал дискретизации), согласованные со спектральным составом исходного сигнала.

Частота дискретизации, как правило, удовлетворяет условию , где  – верхняя граничная частота в спектре исходного сигнала (функции) , из которой формируется кусочно-постоянная функция . Если система
временных интервалов  задана, то каждая функция  полностью определяется вектором  из . Базисной системе   соответствует система прямоугольных функций, которая для  приведена на рис. 6.13.

Очевидно, что это ортогональная система функций, так как для любой пары функций  при .

Для того чтобы эта система была ортонормальна, необходимо, чтобы амплитуды импульсов были бы равны . Совокупность базисных функций можно задать с помощью матрицы, которая для нашей базисной системы имеет вид , т. е. является единичной матрицей .

Система функций Хаара.

В 1900 г. венгерский математик Альфред Хаар предложил и исследовал ортонормальную систему функций на промежутке  , к которому с помощью операции масштабирования и сдвига может быть преобразован любой конечный отрезок. Схема построения функций Хаара была рассмотрена в гл.4.

Являясь полной ортонормальной системой в , система функций Хаара обладает замечательным свойством: для любой непрерывной на
промежутке  функции  ряд Фурье–Хаара , где , сходится равномерно:

.

Однако ряды Фурье–Хаара сходятся довольно медленно, причем темп сходимости, в отличие от тригонометрического базиса, не зависит от гладкости (непрерывности и наличия непрерывных производных) представляемой функции.

При фиксированном разбиении основного промежутка на двоичные отрезки (фиксировано m) функции Хаара, отвечающие данному m, образуют базис на множестве кусочно-постоянных функций, которые можно построить на данной системе отрезков. При система функций Хаара превращается в базис . Это замечание в полной мере относится и к системе функций Уолша, о которой мы поговорим несколько позже.

Для иллюстрации рассмотрим представление в базисе Хаара треугольного импульса вида

Учитывая вид , можно утверждать, что модуль коэффициентов ряда Фурье–Хаара будет зависеть только от m, причем коэффициенты стоящие перед функциями Хаара, располагающимися на промежутке  будут отрицательными, а на промежутке  – положительными.

Таким образом, , так как по отношению к середине промежутка  – четная функция, а  – нечетная. Коэффициенты  для левой половины отрезка  будут равны:

, .

Для правой половины – .

На рис. 6.14, а приведена исходная функция  и результат ее аппроксимации первыми членами ряда Фурье–Хаара.

Для сравнения на рис. 6.14, б приведен результат аппроксимации  в тригонометрическом базисе с тем же числом членов.

Отметим, что для тригонометрического базиса скорость сходимости ряда Фурье зависит от гладкости раскладываемой в ряд функции. Так, если  непрерывна вместе с  первыми производными, то коэффициенты ряда Фурье убывают по закону , где  – номер коэффициента ряда Фурье,  соответствует непрерывности функции.

Таким образом, для рассматриваемой функции коэффициенты Фурье в тригонометрическом базисе убывают по закону . Для базиса Хаара темп сходимости не зависит от степени гладкости функции и имеет порядок .

Суммируя по  функции Хаара, соответствующие одному и тому же  и умножая результат суммирования на , приходим к функциям Радемахера .

Другая форма определения функций Радемахера

часто бывает более наглядной.

Функции Радемахера образуют на промежутке  ортонормальную систему, т. е. , но она не полна, т.к. содержит лишь нечетные по отношению к середине промежутка, функции.

На ее основе может быть построена полная в  ортонормальная система функций Уолша, к знакомству с которыми мы и переходим.

В заключение приведем матричное представление первых восьми функций Хаара (матрица ) и первых четырех функций Радемахера (матрица ):

; .

Функции Уолша