Первое знакомство с
функциями Радемахера и Уолша состоялось в конце гл.4, где речь шла о построении
ортогональных систем. Там были введены функции Уолша, упорядоченные по Пэли,
при этом функция Уолша, обозначаемая при этом как , где
– номер функции, определялась как
произведение функции Радемахера с номерами
. Целые
числа
есть показатели степени двоичного
представления номера функции Уолша
,
. Таким образом,
.
Ниже представлены выражения для первых восьми функций Уолша:
;
, поскольку
;
,
поскольку
;
, поскольку
;
, поскольку
;
, поскольку
;
, поскольку
;
,
поскольку
.
Матрица, определяющая
первые восемь функций Уолша (m = 3), упорядоченных по Пэли, и
обозначаемая обычно как имеет вид
.
Часто более удобным
оказывается способ упорядочивания функции Уолша по Адамару, суть которого
состоит в следующем. Введем в рассмотрение прямое произведение матрицы и матрицы
, обозначаемое как
и
определяемое как блочная матрица вида
.
Например,
.
Запишем матрицу и с помощью операции прямого произведения
получим матрицы
,
и т. д. Матрицы , получаемые по этой схеме, называются матрицами
Адамара. Их строки определяют функции Уолша, упорядоченные по Адамару и
обозначаемые как
, где
– номер
функции,
.
Третий из используемых на
практике способов упорядочивания функций Уолша называется упорядочивание по
секвенте (числу перемен знака или нулей функции Уолша на рассматриваемом
интервале). Он очень близок к тому, который был предложен Уолшем, следствием
чего является используемое обозначение .
Функции, упорядоченные по секвенте могут быть определены с помощью матрицы
. Так, матрица
имеет
вид:
.
Между номерами функций при различных способах упорядочивания существует взаимно однозначное соответствие. Матрицы, с помощью которых задаются функции Уолша, обладают рядом особенностей, определяющих свойства функций Уолша.
1.
Это ортогональные
матрицы (скалярные произведения любых двух строк равно нулю). Матрица называется ортогональной, если
, где
–
скаляр. В нашем случае
.
2.
Замена -ой строки на
-ый
столбец не меняет матрицу. Это означает, что если вместо непрерывного времени
рассматривать дискретное – номера двоичных
отрезков, то переменные
и
,
и
,
и
являются равноправными.
3. Сумма элементов каждой строки, кроме первой, равна нулю. Это свойство определяет уравновешенность функции Уолша.
4.
Поэлементное
произведение любых двух строк дает строку этой матрицы с номером (
), где
и
–
номера перемножаемых строк, а записанная операция означает суммирование по
модулю 2. Это свойство определяет мультипликативность системы функций Уолша.
Система функций называется мультипликативной, если произведение
любых двух функций системы дает функцию системы и для любой функции
, функция
также
входит в систему.
Хорошо знакомым примером
мультипликативной системы является система комплексных экспонент .
Остановимся теперь на
вопросах представления функций в базисе (базисах) Уолша. Как уже неоднократно
отмечалось, система функций Уолша полна в . Это
означает, что для
выполняется соотношение:
.
Аналогичные утверждения справедливы и
для и
.
Для равномерной
сходимости рядов Фурье–Уолша необходимо, чтобы функция была
непрерывна и имела на интервале
ограниченное полное
изменение (ограниченную вариацию). Функция
имеет
на промежутке
ограниченную вариацию, если при
любом разбиении промежутка
, и при любом
совокупность сумм вида
, отвечающая всевозможным разбиениям промежутка
, ограничена.
Точную верхнюю грань называют полной вариацией функции
на
и
обозначают как
.
Из самой идеи построения
функций Уолша видно, что для получения конечной совокупности функций Уолша
необходимо задать m определяющее число двоичных отрезков, на которых
задаются значения функций Уолша. Построенная система будет полна на множестве
кусочно-постоянных функций, построенной на данной системе отрезков, но не будет
полна в .
Пусть представляемая
кусочно-постоянная функция определена своими
значениями
на заданных двоичных отрезках, т. е. задан
вектор
. Тогда выражение для коэффициента
Фурье-Уолша (для определенности будем использовать упорядочивание по Адамару)
примет вид
,
где – i-й
элемент h-ой строки матрицы
.
Таким образом,
коэффициент Фурье с точностью до постоянного при данном m множителя определяется скалярным произведением
вектора значений кусочно-постоянной функции
и
вектора, определяющего соответствующую функцию Уолша.
Вся совокупность
коэффициентов ряда Фурье–Уолша, определяемая вектором ,
кусочно-постоянной функции
может быть найдена как
произведение матрицы Уолша (
) на вектор
, т. е.
, где
символ «T» означает транспонирование.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.