Функции Бесселя (Бесселевые или цилиндрические функции)

В соответствии с условиями сходимости этот ряд сходится во всех точках кроме точки t = 0, где он равен полусумме левого и правого пределов в этой точке . Это действительно так, потому что .

6.5. Функции Бесселя

Бесселевыми или цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

,                               (6.13)

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J_ν(z), функции Неймана N_ν(z), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y_ν(z), и функции Ганкеля H_ν⁽¹⁾(z), H_ν⁽²⁾(z). Названные функции при фиксированном  являются аналитическими функциями z. Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν. При этом она является целой функцией комплексной переменной ν.

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора .

Между функциями J_ν(z), N_ν(z) или Y_ν(z), H_ν⁽¹⁾(z), H_ν⁽²⁾(z) имеют место зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда , где a_m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

 ; ,     (6.14)

которые при  являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13).

Если ν = n, то между функциями J_п(z) и J_–п(z)  существует линейная зависимость вида .

Для получения общего решения уравнения (6.13) для ν = n и вводится функция Неймана

.

Функции J_ν(z) и N_ν(z) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v, в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).

Если считать, что , где x – вещественная переменная, то подставляя это значение в (6.14), получим:

 ;  .

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

; .         (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными определяет резкое различие в их поведении (см. рис.6.9 и рис.6.10, на которых представлены графики функций J_n(x) и I_n(x) соответственно).

Далее будем считать аргумент функции Бесселя вещественным числом х. Правило дифференцирования функций Бесселя определяется следующим рекуррентным соотношением:

.

В частности, при  с учётом того, что , получим:

.

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

.                                (6.16)

Аналогичные формулы имеют место и для модифицированных функций Бесселя:

; .

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I_-n(x) = I_n(x) и, следовательно, .

При полуцелом значке , где n – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения  и , что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить  и так далее.

Общие выражения для функций Бесселя полуцелого значка имеют вид  и  , где символ  означает п-кратное дифференцирование стоящего за ним выраже- ния с умножением результата на  после каждого дифференцирования.

Последующее дифференцирование проводится с учетом этого множителя. Например,

.

Приведенные выражения еще раз подчеркивают осциллирующий и слабозатухающий характер поведения функций Бесселя.

При изучении асимптотического поведения функции Бесселя рассматривают разные сценарии поведения аргумента z и значка v. Наиболее интересным и простым является случай, когда v фиксировано, а . В этом случае первое приближение для  имеет вид  , и, соответственно, .