Другие предметы \ Математический аппарат радиотехники

Функции гипергеометрического типа

Страницы работы

Содержание работы

Следует заметить, что такой же амплитудный спектр имеет амплитудномодулированное колебание с гармоническим законом модуляции. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

С ростом индекса модуляции число отличных от нуля гармоник растет и спектр колебания расширяется. Так как высокое качество ЧМ передач можно обеспечить при больших индексах модуляции, то становится понятным, почему качественное стереовещание ведется в УКВ диапазоне, а не на длинных и средних волнах.

6.6. Функции гипергеометрического типа

При знакомстве с классическими ортогональными полиномами, мы отмечали, что они являются решениями соответствующих линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

где и – полиномы порядка не выше второго, – собственные значения, соответствующие . Так, для полиномов Лежандра это уравнение имеет вид , для полиномов Лаггера , а для полиномов Эрмита .

Дифференциальное уравнение гипергеометрического типа является обобщением уравнения для классических ортогональных полиномов и записывается следующим образом , где a, b, c – произвольные числа, причем . Это уравнение иногда называют дифференциальным уравнением Гаусса, а его решения функциями Гаусса. Одно из решений этого уравнения, называемое гипергеометрической функцией, имеет вид

Ряд, определяющий эту функцию, называется гипергеометрическим рядом. Входящие в коэффициенты ряда произведения обозначают как . Индексы 2 и 1, входящие в обозначение функции , показывают, что два параметра (a и b) входят в числитель коэффициентов, а один (c) – в знаменатель.

Если a или b равно отрицательному целому числу, то ряд обрывается и превращается в полином степени .

С помощью признака Даламбера можно установить, что радиус сходимости гипергеометрического ряда равняется единице.

Укажем элементарные свойства гипергеометрической функции.

Прежде всего, отметим симметрию по отношению к параметрам a и b.

Дифференцируя гипергеометрический ряд почленно, получим:

или, в общем случае:

Гипергеометрические функции удовлетворяют большому количеству рекуррентных соотношений типа

с которыми можно познакомиться с помощью справочников по теории специальных функций [15].

Придавая параметрам a, b и c конкретные значения, можно получить представления различных функций через гипергеометрическую.

1. Элементарные функции

Выше отмечалось, что при отрицательных целых значениях параметра a или b гипергеометрическая функция превращается в полином. Если a = 1/2, b = c = 1, то .

Для логарифмической функции выполняется соотношение , а для обратных тригонометрических функций , .

Во многих задачах приходится сталкиваться с эллиптическими интегралами первого и второго рода, под которыми понимают интегралы следующего вида:

; .

Если положить a = b = 1/2, c = 1 и , то , аналогично при a = –1/2, b = 1/2, c = 1 и , .

Рассмотренные выше классические ортогональные полиномы также выражаются чрез гипергеометрическую функцию. Так, полином Лежандра представляет собой , а полином Чебышева первого рода .

Вырожденная гипергеометрическая функция определяется рядом

где, как и раньше, a и c – любые числа, кроме . В отличие от гипергеометрической функции данный ряд сходится при любых конечных t. Вырожденная гипергеометрическая функция является решением уравнения Куммера

Правила дифференцирования аналогичны правилам для , т. е.

То же можно сказать и о рекуррентных соотношениях, связывающих функцию с двумя любыми смежными функциями и , т. е.

;

Более подробно с рекуррентными соотношениями для вырожденных гипергеометрических функций можно познакомиться с помощью справочников.

Для приложений оказываются полезными формулы, связывающие вырожденные гипергеометрические функции с положительным и отрицательным значением аргумента: