Метод прогонки

Лабораторная работа №3.

Метод прогонки.

3.1. Описание метода прогонки.

Метод прогонки представляет собой вариант метода Гаусса, примененный к специальным системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), и учитывающий ленточную структуру матрицы системы.

Матрица  такая, что ее элементы  для всех  называется ленточной.

Пусть имеем, СЛАУ со специальной трехдиагональной формой матрицы, т. е. с матрицей, все элементы которой, не лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны 0 ( при  и )

;

,     ;                                   (3.1)

,                                                         

или в матричной форме: , где  - вектор неизвестных;  - вектор правых частей;  - квадратная  матрица

Системы вида (3.1) возникают при аппроксимации краевых задач математической физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными и переменными коэффициентами, а также уравнениями в частных производных. Ставится задача разработать экономичные методы решения задач вида (3.1), число арифметических операций для которых пропорционально числу неизвестных. Таким методом для системы (3.1) является метод прогонки.

Специфика матрицы  системы (3.1) состоит в расположении ненулевых элементов, матрица  - разреженная матрица, из  элементов которой ненулевыми являются не более  элементов. Это позволяет получить для решения СЛАУ простые расчетные формулы. Будем искать решение (3.1) в виде

,                                  (3.3)

с неопределенными коэффициентами , . Выражение  подставим в (3.1)

с учетом (3.3) имеем

Это равенство имеет место для любых , если

,       

Отсюда получаем рекуррентные формулы для определения ,

,         ;                                              (3.4)

,         .                                              (3.5)