Метод Рунге-Кутта.
Повышение порядка точности осуществляется путем усложнения разностной схемы. На практике широко распространенными являются разностные схемы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности.
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности Вычисления по этому методу осуществляются в два этапа. На первом этапе по схеме Эйлера находится промежуточное значение
(5.10)
На втором этапе находится значение по схеме
(5.11)
где >0, >0 - параметры. Подставляя , из (5.10) в (5.11), имеем
(5.12)
Нетрудно проверить (используя как и в п.5.2, разложение по формуле Тейлора), что схема (5.12) имеет второй порядок аппроксимации при условии =l/2. Частные случаи разностной схемы (5.12)
1)
(5-13)
Эта разностная схема носит название предиктор-корректор, или счет-пересчет. Первая схема из (5.13) - схема Эйлера с шагом (предиктор), вторая - схема со значением , на полушаге (корректор)
2)
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности
Используется схема
где k1 k2, k3, k4 - поправки, вычисляемые по формулам
При определении yi+1 по заданному yi необходимо четыре раза вычислять правую часть (5.14) в следующей последовательности: k1 k2, k3, k4. Если предположить достаточную гладкость u(t) (непрерывную дифференцируемость вплоть до производных 4-го порядка) и разложить ui+1, k1 k2, k3, k4 в окрестности t=ti, нетрудно показать, что невязка у = 0(τ4), т.е. разностная схема (5.14) имеет 4-й порядок аппроксимации.
5.4. Устойчивость разностных схем.
При решении задачи Коши для ОДУ первого порядка (5.1) мы переходим к аппроксимации исходной задачи некоторой разностной схемой. При этом правую часть уравнения (5.1) f(t,u) и начальные условия принято называть общим термином - входные данные. Они могут задаваться с определенной погрешностью. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нарастали в процессе вычислений. Такие схемы называются устойчивыми. Схемы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности, называются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике. Более точно понятие устойчивости разностной схемы формулируется следующим образом. Пусть даны два линейных нормированных пространства Bτ(1) и Bτ(2) зависящие от параметра τ. Рассмотрим линейный оператор Аτ с областью определения D(Aτ) = Bτ(1) и множеством значений R(A) Bτ(2). Рассмотрим разностную схему
(5.16)
где - разностная функция, являющаяся решением разностной схемы, φτ - входные данные.
Пусть и - нормы в Bτ(1) и Bτ(2) соответственно. Будем говорить, что разностная схема (5.16) устойчива, если решение уравнения (5.16) непрерывно зависит от φτ, причем эта зависимость равномерна по τ. Иными словами, существует величина М > 0 , не зависящая от τ, φτ, такая что для решения уравнения (5.16) имеет место оценка (при любом φτ Bτ(2))
В этом случае речь идет о безусловно (абсолютной) устойчивой разностной схеме.
Если же выполняется оценка вида
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.