Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта.

Повышение порядка точности осуществляется путем усложнения разностной схемы. На практике широко распространенными являются разностные схемы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности.

Метод Рунге-Кутта второго порядка точности Вычисления по этому методу осуществляются в два этапа. На первом этапе по схеме Эйлера находится промежуточное значение

                                                                     (5.10)

На втором этапе находится значение      по схеме

                                                                              (5.11)

где   >0,    >0 - параметры. Подставляя    , из (5.10) в (5.11), имеем

 (5.12)                

Нетрудно проверить (используя как и в п.5.2, разложение по формуле Тейлора), что схема (5.12) имеет второй порядок аппроксимации при условии     =l/2. Частные случаи разностной схемы (5.12)

1)

            (5-13)

Эта разностная схема носит название предиктор-корректор, или счет-пересчет. Первая схема из (5.13) - схема Эйлера с шагом     (предиктор), вторая - схема со значением  , на полушаге (корректор)

2)

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности

Используется схема

где k₁ k₂, k₃, k₄ - поправки, вычисляемые по формулам

При определении y_i+1 по заданному y_i необходимо четыре раза вычислять правую часть (5.14) в следующей последовательности: k₁ k₂, k₃, k₄. Если предположить достаточную гладкость u(t) (непрерывную дифференцируемость вплоть до производных 4-го порядка) и разложить u_i+1, k₁ k₂, k₃, k₄ в окрестности t=t_i, нетрудно показать, что невязка у = 0(τ⁴), т.е. разностная схема (5.14) имеет 4-й порядок аппроксимации.

5.4. Устойчивость разностных схем.

При решении задачи Коши для ОДУ первого порядка (5.1) мы переходим к аппроксимации исходной задачи некоторой разностной схемой. При этом правую часть уравнения (5.1) f(t,u) и начальные условия принято называть общим термином - входные данные. Они могут задаваться с определенной погрешностью. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нарастали в процессе вычислений. Такие схемы называются устойчивыми. Схемы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности, называются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике. Более точно понятие устойчивости разностной схемы формулируется следующим образом. Пусть даны два линейных нормированных пространства B_τ⁽¹⁾ и B_τ⁽²⁾ зависящие от параметра τ. Рассмотрим линейный оператор А_τ с областью определения D(A_τ) = B_τ⁽¹⁾ и множеством значений R(A)  B_τ⁽²⁾. Рассмотрим разностную схему

                                                                                      (5.16)

где           - разностная функция, являющаяся решением разностной схемы, φ_τ - входные данные.

Пусть      и      - нормы в B_τ⁽¹⁾ и B_τ⁽²⁾ соответственно. Будем говорить, что разностная схема (5.16)  устойчива, если решение     уравнения (5.16) непрерывно зависит от φ_τ, причем эта зависимость равномерна по τ. Иными словами, существует величина М > 0 , не зависящая от τ, φ_τ, такая что для решения уравнения (5.16) имеет место оценка (при любом φ_τ    B_τ⁽²⁾)

В этом случае речь идет о безусловно (абсолютной) устойчивой разностной схеме.

Если же выполняется оценка вида