Задачи, рекомендуемые для подготовки к госэкзамену (Предел функции. Непрерывность функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Предел и непрерывность функций многих переменных)

Задачи, рекомендуемые для подготовки к гос. экзамену

!!!!!

Данный файл был составлен несколькими студентами группы ПМ-12 по материалу списков типовых задач к экзаменам по мат. анализу 1-3 семестров, составленных С. Е. Рояк. Он был составлен по рекомендациям преподавателя, но не прошел окончательной проверки, поэтому за все ошибки и опечатки Светлана Ефимовна ответственности не несет!

1. Предел функции

1. Используя замечательные пределы, докажите, что

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) .

2. Используя неравенство  , докажите, что .

3. Докажите, что  не существует.

4. Найти:

1)     2)  

3)

4)     5)    6)     7)

8)     9)             10)

11)     12)  13)

14)     15)     16)     17)

18)     19)     20)     21)

22)     23)

Задачи на вычисление пределов в больших количествах можно найти в индивидуальных заданиях (должна быть целая тетрадь!).

2. Непрерывность функций

1. Найти :

1), ; 2) , ; 3) , ;

4) ,; 5) , ; 6) , ;

7),; 8), .

2. Функция f определена в окрестности точки . Доопределить функцию f так, задав , чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке , если:

1); 2); 3);

4); 5) ; 6) ;

7) ; 8).

3. Доказать, пользуясь неравенством , непрерывность функции y, если: К10.6

а), б), в) .

4. Доказать, что функция  непрерывна в каждой точке  и непрерывна слева в точке .

5(!!). При каком значении a функция  будет непрерывна, если:

1)  2)

3) 4)   5)

6)  7) , 8)

9)

3. Задачи на наибольшее и наименьшее значения

1. Пусть . В с.152N115

1) Найти множество на прямой Oy, являющееся образом множества:

а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) ,

з) , и) .

2) Найти множество на прямой Ox, являющееся прообразом множества:

а) , б) , в) .

2. Доказать ограниченность функций:

1) , 2) , 3)

3. Доказать неограниченность функций:

1) , 2) , 3) , 4)

4. Найти , , а также , , если последние существуют:

1)                        а) , б) , в);

2) ;

3) ;      4) ;        5) ;

6) ;       7) ;         8);

9);             10);

11);            12);           13).

Замечание: сколько точек надо исследовать?? Только, где  или еще?...

5. Доказать, что существует , но не существует , и найти , если:

1) , 2) , 3)

6. Доказать, что существует , но не существует , и найти , если:

1) , 2) , 3)

7. Найти экстремумы функций:

1) , 2) , 3) , 4), 5), 6) ,

7) , 8) , 9) , 10) .

4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

1. Верно ли равенство:Бс.54

1)  при , если:

а) , б) , в) , г)

2)  при , если:

а) , б) , в)

3)  при , если:

а) ; б) , в) , г)

4)  при , если:

а); б), в)

3)  при , если:

а) ; б) , в) , г) ,

д)

2. Определить порядок n бесконечно большой функции: К9.49

а) , при ; б) , при ;

в) , при ; г) , при ;

д) , при .

3. Определить порядок n бесконечно малой функции: К9.48

а) , при ; б) , при ;

в) , при ; г) , при ;

д)  при ; е) , при .

А также:

Демидович №№ 646, 647, 648, 650, 651а)-г), 653-658 (выделение главной части вида…, доказательство одного из свойств символов Ландау…)

5. Формула Тейлора

Вычислить предел, используя формулу Тейлора:

<Б с.124 N 47, 63, 64>1) , 2) , 3) , 4)  (!!!!≠0??),

5) , 6<K19.4 1> 6666),

7) , 8) , 9)<К 9.57> 99, 10) ,

11) ; <К 9.17 56, 59> 12) , 13) ,

<К 19.1 2, 5> 14), 15) ; <Д 1398, 1405, 1406> 16) ,

!!: 17)<Б с.124 N67> 151 , 18<Б с.128 N73 б, в> 16) ,

19) (кстати, этот номер в образце билетов!),

<К 9.58 1, 2, 3, 5> 20), 21) , 22) ,

23) , 24)

<K17.58, 61>22 ,  25) ,

<К 19.2 1, 2, 6>26) , 27) , 28) .

6. Производные и дифференциалы

1(!!). Определить значения α и β, при которых следующие функции

а) всюду непрерывны, б) всюду дифференцируемы:

1)   2) 3)

4)

2(!). Исследовать на дифференцируемость:

1) , 2) .

3(!). Определить значения α и β, при которых функция К13.178

   имеет производную: 1) в точке x=1, 2) в точке x=–1.

4. Найти правую и левую производные следующих функций. Определить, является ли функция дифференцируемой?

1) 2)  3)

5. Найти ,  и ,  для функций, заданных параметрически: К13.201

1), 2) , 3),

4) .

6. Найти производные обратных функций в указанных точках К13.197

1), а) , б) ;

2);

3).

7. Вычислить .

К13.2087 В с.125N68

1)

;

2) , .

8. Найти  для дифференцируемых функций , заданных неявно:

1), 2).

9. Найти  для дифференцируемых функций , заданных неявно:

1) , 2) , 3) , 4) .

10(!!!).Сделать указанную замену переменных в уравнении:

1) В с.125 N69 ;

2) В с.125 N74 ;

3) В с.125 N75 ;

4) В с.125 N76 ;

5) В с.125 N77 .

11. Найти дифференциал функции y, считая известными дифференциалы функций u и v:

1); 2); 3) ; 4) ; 5); 6) .

12(!!). Найти второй дифференциал функции :

1) , 2), 3),

4) , 5) , 6) , 7) .

13(!!). Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства:

1) ;   2) ;

3) , при ;   4)  при ;

7) , при ;  8) , при ;

9) ,;

10) ;  11) ;

12) ;  13) , ;

14);.

7. Интегралы

1. Найти интеграл с переменным верхним пределом:

 1) ,       2) .

2. Доказать, что ~.

3. С помощью теоремы о среднем:

- определить знаки следующих определенных интегралов:

            1) ,           2) ,             3) ,              3) .