Задачи, рекомендуемые для подготовки к госэкзамену (Предел функции. Непрерывность функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Предел и непрерывность функций многих переменных), страница 4

13. Кратные интегралы

Замечание: особое внимание уделить цилиндрическим, сферическим, полярным системам координат. В билетах, предположительно, задачи на кратное интегрирование будут встречаться, в рамках задач на теорию поля.

1. Записать интеграл в виде повторного или суммы повторных с указанным порядком интегрирования (если указан порядок , то требуется расставить пределы интегрирования в следующем повторном интеграле )

1. Область ограничена поверхностями , , а) ,

б) .

2. Область ограничена поверхностями , , а),

б).

3. , а) , б) .

2. Свести интеграл к однократному или сумме однократных:

1. .

2. .

3. В интеграле перейти к сферическим координатам и записать его в виде повторного, если

1) .

2) Область ограничена поверхностями .

4. Вычислить интеграл:

1) , область расположена в первом октанте и ограничена поверхностями .

2) .

5. Вычислить площадь области, ограниченной кривой:

1) 2) .

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностью:

1) 2) .

14. Теория поля

1. Найти работу поля вдоль прямой от точки до точки , если:

, ,

2. Найти работу поля вдоль кривой , если:

1) ; – часть графика от точки до точки

2) ; -дуга астроиды от точки до точки , расположенная в первом квадранте (-непрерывная функция) [К12.92.3].

3) и есть наименьшая дуга окружности от точки до точки [В178].

4) – кратчайшая дуга эллипса , от точки до точки : б) , в) .

3. Найти по формуле Стокса циркуляцию поля вдоль контура , ориентированного по часовой стрелке при взгляде на него из начала координат, если:

, .

4. Найти циркуляцию вектора вдоль ориентированного контура .

1) , положительно ориентированная на правой стороне плоскости.

2) , , положительно ориентированная на внешней стороне параболоида.

5. Найти поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали

1) , .

2) , – поверхность тела .

3) , – верхняя сторона треугольника , где , , .

4) , – поверхность пирамиды, образуемой плоскостью и координатными плоскостями.

5) , – ограниченная часть параболоида , отсеченная плоскостью .

6) , – часть сферы , расположенная в области .

6. Найти дивергенцию поля в точке . Чему приближенно равен поток вектора через бесконечно малую сферу ?

7. Дано векторное поле . Вычислив в точке , приближенно найти циркуляцию поля вдоль бесконечно малой окружности

, ,

где .

15. Интегралы, зависящие от параметра

Замечание: знать алгоритм полного анализа ряда/интеграла на равномерную/абсолютную сходимость. Уметь использовать признаки Дирихле, Абеля, Вейерштрасса и теорему о сходимости.

1. Доказать равномерную сходимость на указанном интервале

1) , 2) ,