Задачи, рекомендуемые для подготовки к госэкзамену (Предел функции. Непрерывность функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Предел и непрерывность функций многих переменных), страница 2

- определить, какой интеграл больше: 1)  или ,           

            2)  или ,       3)  или .

- оценить интеграл

            1) ,       2) ,                3) .

4. Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной параметрически .

5. Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах:

1)  ,          2) ,           3) ,           4) ,

5) ,     6) ,     7) ,    8) ,    

9) *,     10) *.

6. Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда  при одном его обороте, если началу движения соответствует .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля .

8. Найти длину дуги кривой:

1)  , 2)  от точки  до точки ,

3) ,          4) ,

5) ,

6) ,            7) ,

8) ,     9)* ,         10) .

9. Исследовать сходимости интегралов от неотрицательных функций:

1) ,   2) ,   3) ,   4) ,   5) ,

6) ,   7) ,        8) ,   9) ,       

10) ,       11) ,   12) ,    13) ,                

14) ,           15) ,        16) ,  17) ,  

18) ,               19) ,    20) ,

21)* ,        

22) ,        23) ,   (24)* ),   25) ,     

26) ,          27) ,    28)* ,   29)* .*

10. Исследовать интегралы на абсолютную и условную сходимость:

1) ,         2) ,            3) ,            4) ,  

5) ,            6) ,     7) ,       8) ,

9)* ,        10) ,      11) ,      12)* ,

13)* ,         14)* ,         15)* .

8. Предел и непрерывность функций многих переменных

Замечание: не забывайте правильно выбирать систему координат: декартовую/полярную!

В номерах этого раздела ошибка может оказаться роковой!!

1. Найти а) , б) , в) .

   1) , 2) ,  3) .

2. Найти а) , б) , в) .

            1) ,           2) ,         3) .

3. Найти:

1), [1]                          2) ,[e]                 3) , [p]

4) , [-3]                            5) , [6]                 6) , [0]

7) , []         8) , [0]

9) , [1]          10) .

4. Доказать, что следующие функции непрерывны в начале координат:

1)              2)            3)

4)     5)                   6)

5. Найти точки разрыва следующих функций:

            1) ,        2) ,              3) ,             4) .

6. Доказать, что следующие функции не являются непрерывными в начале координат:

1)*                 2)  

3)                        4)

7. Выяснить, является ли функция  в точке (0,0):
1) непрерывной по x, 2) непрерывной по y, 3) непрерывной.

8. Найти значение a, при котором функция  в точке (0,0) является: 1) непрерывной по x, 2) непрерывной по y, 3) непрерывной по кривой ,

4) непрерывной.

9. Найти значение a, при котором функция  в точке (0,0) является: 1) непрерывной по прямой , 2) непрерывной.

10. Найти значение a, при котором функция  в точке (0,0) является: 1) непрерывной по прямой , 2) непрерывной по кривой , 3) непрерывной.

11. Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции двух переменных:

1) ,           2) ,                 3)* ,

6)            7)       8)

12. Найти все точки разрыва функции трех переменных:

1)    2)    3)

4)  5)      6)

7)      8) .

9. Производные и дифференциалы высших порядков:

1.         А) Выписать все ненулевые дифференциалы функции.

Б) Найти  в точке .

В) Найти производную функции f в точке  по направлению вектора ,

, .           

1) ,         2) ,

3) ,         4) ,

5) ,         6) .

2. Найти

1) ,   2) , 

3. Найти частные производные первого порядка функции , заданной неявно, предварительно найдя ее первый дифференциал: